Passo 1
Vamos lá! O exercício que você mandou é uma equação diferencial, e o que a gente precisa fazer aqui é resolver essa equação. A equação que temos é
e com uma condição inicial
. Para resolver isso, precisamos entender como funcionam as equações diferenciais e como separá-las, além de integrar os dois lados da equação.
Passo 2
Primeiro, nossa equação pode ser separada para ficar mais fácil de resolver. A gente tem:
Para separar as variáveis, vamos reescrever a equação de modo que todos os termos envolvendo
fiquem do lado esquerdo e os termos envolvendo
do lado direito. Para isso, vamos colocar o que está do lado direito sobre o
:
Agora, temos uma forma que nos permite integrar ambos os lados. O lado esquerdo está em relação a
, e o lado direito em relação a
.
Passo 3
Vamos integrar agora! Primeiramente, o lado esquerdo:
A integral do lado esquerdo pode ser reconhecida como uma forma padrão. Sabemos que:
No nosso caso,
, então a integral fica:
E agora, integramos o lado direito:
Assim temos:
Passo 4
Agora, vamos usar a condição inicial que temos, que é
. Isso significa que quando
,
. Vamos substituir para encontrar a constante
.
Substituindo na equação:
O que implica que:
Sabemos que
, então
.
Agora finalmente, o que temos até aqui:
Passo 5
Agora vamos resolver isso em relação a
. Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Agora, aplicamos a função tangente em ambos os lados:
E, por fim, isolamos
:
Assim, temos que:
Resposta
A solução da equação diferencial é
.
Exercícios relacionados
Determine os valores de
para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma
.
Determine os valores de
para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma
para
:
Resolva a equação diferencial
e esboce o gráfico de duas soluções.
Use convolução para achar: