d yd x=(y-1)^2+0,01, y(0)=1

Passo 1

Vamos lá! O exercício que você mandou é uma equação diferencial, e o que a gente precisa fazer aqui é resolver essa equação. A equação que temos é d yd x=(y-1)^2+0,01 e com uma condição inicial y(0)=1. Para resolver isso, precisamos entender como funcionam as equações diferenciais e como separá-las, além de integrar os dois lados da equação.

Passo 2

Primeiro, nossa equação pode ser separada para ficar mais fácil de resolver. A gente tem:
d yd x = (y-1)^2 + 0,01
Para separar as variáveis, vamos reescrever a equação de modo que todos os termos envolvendo y fiquem do lado esquerdo e os termos envolvendo x do lado direito. Para isso, vamos colocar o que está do lado direito sobre o d y:
1(y-1)^2 + 0,01 d y = d x
Agora, temos uma forma que nos permite integrar ambos os lados. O lado esquerdo está em relação a y, e o lado direito em relação a x.

Passo 3

Vamos integrar agora! Primeiramente, o lado esquerdo:
integral 1(y-1)^2 + 0,01 d y
A integral do lado esquerdo pode ser reconhecida como uma forma padrão. Sabemos que:
integral 1a^2 + x^2 dx = 1a tan^-1 ( xa ) + C
No nosso caso, a = 0,1, então a integral fica:
integral 1(y-1)^2 + (0,1)^2 d y = 10,1 tan^-1 ( y-10,1 ) + C
E agora, integramos o lado direito:
integral d x = x + C
Assim temos:
10,1 tan^-1 ( y-10,1 ) = x + C

Passo 4

Agora, vamos usar a condição inicial que temos, que é y(0) = 1. Isso significa que quando x=0, y=1. Vamos substituir para encontrar a constante C.
Substituindo na equação:
10,1 tan^-1 ( 1-10,1 ) = 0 + C
O que implica que:
10,1 cdot tan^-1(0) = C
Sabemos que tan^-1(0) = 0, então C=0.
Agora finalmente, o que temos até aqui:
10,1 tan^-1 ( y-10,1 ) = x

Passo 5

Agora vamos resolver isso em relação a y. Multiplicando ambos os lados por 0,1, temos:
tan^-1 ( y-10,1 ) = 0,1 x
Agora, aplicamos a função tangente em ambos os lados:
y-10,1 = tan(0,1 x)
E, por fim, isolamos y:
y - 1 = 0,1 tan(0,1 x)
Assim, temos que:
y = 1 + 0,1 tan(0,1 x)

Resposta

A solução da equação diferencial é y = 1 + 0,1 tan(0,1 x).

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