Passo 1

Vamos lá! O exercício que você mandou é uma equação diferencial, e o que a gente precisa fazer aqui é resolver essa equação. A equação que temos é e com uma condição inicial . Para resolver isso, precisamos entender como funcionam as equações diferenciais e como separá-las, além de integrar os dois lados da equação.

Passo 2

Primeiro, nossa equação pode ser separada para ficar mais fácil de resolver. A gente tem:
Para separar as variáveis, vamos reescrever a equação de modo que todos os termos envolvendo fiquem do lado esquerdo e os termos envolvendo do lado direito. Para isso, vamos colocar o que está do lado direito sobre o :
Agora, temos uma forma que nos permite integrar ambos os lados. O lado esquerdo está em relação a , e o lado direito em relação a .

Passo 3

Vamos integrar agora! Primeiramente, o lado esquerdo:
A integral do lado esquerdo pode ser reconhecida como uma forma padrão. Sabemos que:
No nosso caso, , então a integral fica:
E agora, integramos o lado direito:
Assim temos:

Passo 4

Agora, vamos usar a condição inicial que temos, que é . Isso significa que quando , . Vamos substituir para encontrar a constante .
Substituindo na equação:
O que implica que:
Sabemos que , então .
Agora finalmente, o que temos até aqui:

Passo 5

Agora vamos resolver isso em relação a . Multiplicando ambos os lados por , temos:
Agora, aplicamos a função tangente em ambos os lados:
E, por fim, isolamos :
Assim, temos que:

Resposta

A solução da equação diferencial é .

Exercícios relacionados

Determine os valores de para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma .
Determine os valores de para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma para :
Resolva a equação diferencial e esboce o gráfico de duas soluções.
Use convolução para achar: