Use convolução para achar:
Passo 1
Vamos resumir a questão. O exercício pede para calcular a transformada inversa de Laplace de uma função dada, que é
. O conteúdo que estamos trabalhando aqui é sobre transformadas de Laplace e, mais especificamente, sobre como usar convolução para resolver esse tipo de problema. Para resolver, vamos precisar conhecer algumas transformadas inversas básicas e a propriedade da convolução.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a função em frações parciais para ficar mais fácil de trabalhar. A nossa expressão
pode ser escrita na forma:
Onde
,
e
são constantes que precisamos determinar.
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Agora, precisamos escolher valores adequados de
para resolver isso. Podemos começar substituindo
:
Isso nos dá:
Agora, vamos substituir
:
Isso nos dá:
Por fim, vamos substituir um valor que nos permita determinar
. Vamos usar
:
Isso nos dá:
Substituindo o valor de
que encontramos:
Somando os termos:
Agora temos
,
, e
. Portanto, a decomposição em frações parciais é:
Passo 3
Agora precisamos encontrar a transformada inversa de cada parte. Primeiro, para
, sabemos que:
Então:
Para a outra parte
, separamos em duas partes:
Para $ \frac{s}{s^{2}+4}$, sabemos que:
Aqui,
, então:
Para a parte
, temos:
Logo:
Agora, juntando tudo:
Resposta
Portanto, a transformada inversa de Laplace de
é: