Use convolução para achar:
L^-1s(s+1)(s^2+4)

Passo 1

Vamos resumir a questão. O exercício pede para calcular a transformada inversa de Laplace de uma função dada, que é s(s+1)(s^2+4). O conteúdo que estamos trabalhando aqui é sobre transformadas de Laplace e, mais especificamente, sobre como usar convolução para resolver esse tipo de problema. Para resolver, vamos precisar conhecer algumas transformadas inversas básicas e a propriedade da convolução.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a função em frações parciais para ficar mais fácil de trabalhar. A nossa expressão s(s+1)(s^2+4) pode ser escrita na forma:
s(s+1)(s^2+4) = As+1 + Bs+Cs^2+4
Onde A, B e C são constantes que precisamos determinar.
Multiplicamos ambos os lados por (s+1)(s^2+4) para eliminar o denominador:
s = A(s^2+4) + (Bs+C)(s+1)
Agora, precisamos escolher valores adequados de s para resolver isso. Podemos começar substituindo s = -1:
-1 = A((-1)^2 + 4) + (B(-1) + C)(0)
Isso nos dá:
-1 = 5A implies A = -15
Agora, vamos substituir s = 0:
0 = A(0^2+4) + (B(0) + C)(1)
Isso nos dá:
0 = 4A + C implies C = -45
Por fim, vamos substituir um valor que nos permita determinar B. Vamos usar s = 1:
1 = A(1^2+4) + (B(1)+C)(2)
Isso nos dá:
1 = 5A + 2B - 45
Substituindo o valor de A que encontramos:
1 = -15 + 2B - 45
Somando os termos:
1 = 2B - 1 implies 2B = 2 implies B = 1
Agora temos A = -15, B = 1, e C = -45. Portanto, a decomposição em frações parciais é:
s(s+1)(s^2+4) = -15(s+1) + s - 4/5s^2+4

Passo 3

Agora precisamos encontrar a transformada inversa de cada parte. Primeiro, para -15(s+1), sabemos que:
L^-11s+a = e^-at
Então:
L^-1-15(s+1) = -15 e^-t
Para a outra parte s - 45s^2+4, separamos em duas partes:
ss^2+4 - 4/5s^2+4
Para $ \frac{s}{s^{2}+4}$, sabemos que:
ss^2+4
Aqui, L^-1ss^2+a^2 = cos(at) , então:
a=2
Para a parte L^-1ss^2+4 = cos(2t) , temos:
-4/5s^2+4
Logo:
L^-11s^2+4 = 12sin(2t)
Agora, juntando tudo:
L^-1-4/5s^2+4 = -45 cdot 12 sin(2t) = -25 sin(2t)

Resposta

Portanto, a transformada inversa de Laplace de s(s+1)(s^2+4) é:
L^-1s(s+1)(s^2+4) = -15 e^-t + cos(2t) - 25 sin(2t)

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