Determine os valores de
para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma
.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado do exercício. Temos uma equação diferencial que é dada por
. O objetivo aqui é encontrar os valores de
para os quais a função
é uma solução dessa equação. Esse tipo de problema é comum em equações diferenciais, e vamos usar a teoria de soluções do tipo exponencial. Precisaremos dos conceitos de derivadas e como substituí-las na equação.
Passo 2
A nossa primeira ação vai ser substituir
na equação diferencial. Antes, vamos lembrar que:
- A primeira derivada de
, ou seja, , é dada por . - A segunda derivada,
, é .
Agora, substituímos essas duas derivadas na equação original:
substituindo, ficamos com:
Passo 3
Agora, podemos fatorar o termo
que é comum em todos os termos. Assim, a expressão fica:
Como
nunca é igual a zero para qualquer valor de
, precisamos focar na parte do polinômio
. Esse é um polinômio quadrático, e podemos resolvê-lo usando a fórmula de Bhaskara, que é:
Aqui, temos
,
e
. Vamos calcular o discriminante (
).
Passo 4
Calculando o discriminante:
Agora que temos o discriminante, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Sabemos que
. Então, substituindo:
Isso nos dá duas soluções. Vamos calcular cada uma separadamente.
Passo 5
- Para a primeira solução, usamos o sinal positivo:
- Para a segunda solução, usamos o sinal negativo:
Agora conseguimos os valores de
.
Resposta
Os valores de
para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma
são
e
.
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Determine os valores de
para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma
para
:
Determine o campo vetorial gradiente de f .
c.
c.
Resolva a equação diferencial
e esboce o gráfico de duas soluções.