Determine os valores de para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma .

Passo 1

Vamos resumir o enunciado do exercício. Temos uma equação diferencial que é dada por . O objetivo aqui é encontrar os valores de para os quais a função é uma solução dessa equação. Esse tipo de problema é comum em equações diferenciais, e vamos usar a teoria de soluções do tipo exponencial. Precisaremos dos conceitos de derivadas e como substituí-las na equação.

Passo 2

A nossa primeira ação vai ser substituir na equação diferencial. Antes, vamos lembrar que:
  • A primeira derivada de , ou seja, , é dada por .
  • A segunda derivada, , é .
Agora, substituímos essas duas derivadas na equação original:
substituindo, ficamos com:

Passo 3

Agora, podemos fatorar o termo que é comum em todos os termos. Assim, a expressão fica:
Como nunca é igual a zero para qualquer valor de , precisamos focar na parte do polinômio . Esse é um polinômio quadrático, e podemos resolvê-lo usando a fórmula de Bhaskara, que é:
Aqui, temos , e . Vamos calcular o discriminante ( ).

Passo 4

Calculando o discriminante:
Agora que temos o discriminante, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Sabemos que . Então, substituindo:
Isso nos dá duas soluções. Vamos calcular cada uma separadamente.

Passo 5

  1. Para a primeira solução, usamos o sinal positivo:
  1. Para a segunda solução, usamos o sinal negativo:
Agora conseguimos os valores de .

Resposta

Os valores de para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma são e .

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Determine os valores de para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma para :
Determine o campo vetorial gradiente de f .
c.
Resolva a equação diferencial e esboce o gráfico de duas soluções.