Determine os valores de r para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma y(t)=e^r t.
y^prime prime+y^prime-6 y=0

Passo 1

Vamos resumir o enunciado do exercício. Temos uma equação diferencial que é dada por y^prime prime+y^prime-6 y=0. O objetivo aqui é encontrar os valores de r para os quais a função y(t)=e^r t é uma solução dessa equação. Esse tipo de problema é comum em equações diferenciais, e vamos usar a teoria de soluções do tipo exponencial. Precisaremos dos conceitos de derivadas e como substituí-las na equação.

Passo 2

A nossa primeira ação vai ser substituir y(t)=e^r t na equação diferencial. Antes, vamos lembrar que:
  • A primeira derivada de y(t), ou seja, y', é dada por y' = r e^r t.
  • A segunda derivada, y'', é y'' = r^2 e^r t.
Agora, substituímos essas duas derivadas na equação original:
y^prime prime + y^prime - 6 y = 0
substituindo, ficamos com:
r^2 e^r t + r e^r t - 6 e^r t = 0

Passo 3

Agora, podemos fatorar o termo e^r t que é comum em todos os termos. Assim, a expressão fica:
e^r t (r^2 + r - 6) = 0
Como e^r t nunca é igual a zero para qualquer valor de r, precisamos focar na parte do polinômio r^2 + r - 6 = 0. Esse é um polinômio quadrático, e podemos resolvê-lo usando a fórmula de Bhaskara, que é:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, temos a = 1, b = 1 e c = -6. Vamos calcular o discriminante ( b^2 - 4ac).

Passo 4

Calculando o discriminante:
b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25
Agora que temos o discriminante, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
r = -1 pm raiz252 cdot 1
Sabemos que raiz25 = 5. Então, substituindo:
r = -1 pm 52
Isso nos dá duas soluções. Vamos calcular cada uma separadamente.

Passo 5

  1. Para a primeira solução, usamos o sinal positivo:
r1 = -1 + 52 = 42 = 2
  1. Para a segunda solução, usamos o sinal negativo:
r2 = -1 - 52 = -62 = -3
Agora conseguimos os valores de r.

Resposta

Os valores de r para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma y(t)=e^r t são r = 2 e r = -3.

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