Resolva a equação diferencial
e esboce o gráfico de duas soluções.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para resolver uma equação diferencial que é
, onde
significa a derivada de
em relação a
. O conteúdo que estamos tratando aqui é sobre equações diferenciais, e nessa equação, a variável
depende da variável
. Para resolver essa equação, vamos usar o método de separação de variáveis. Vamos precisar apenas da próxima etapa para resolver isso!
Passo 2
Para resolver a equação
, primeiro, podemos reescrever a derivada
como
. Assim, ficamos com a equação:
Agora, a ideia do método de separação de variáveis é isolar todas as variáveis de
de um lado e todas as variáveis de
do outro. Para isso, podemos dividir ambos os lados da equação por
(desde que
) e multiplicar por
. Assim, ficamos com:
Passo 3
Agora que temos as variáveis separadas, vamos integrar os dois lados. A integral do lado esquerdo é:
E a integral do lado direito é:
Juntando tudo, ficamos com:
onde
é uma constante que vamos manter por enquanto.
Passo 4
Agora, para eliminar o logaritmo, vamos usar a função exponencial. Por causa disso, temos:
Podemos reescrever
como uma nova constante
, da seguinte forma:
E, como estamos falando sobre funções, podemos retirar o valor absoluto e dizer que:
onde
pode ser qualquer número real. Essa é a solução geral da equação diferencial!
Resposta
A solução da equação diferencial
é dada por
, onde
é uma constante. Para esboçar o gráfico de duas soluções, você pode escolher dois valores diferentes para
, como
e
. Assim, as funções seriam
e
, que você pode desenhar para ter uma ideia de como elas se comportam.
Exercícios relacionados
Determine os valores de
para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma
.
Use convolução para achar:
Encontre a transformada de Laplace da função.
.