Resolva a equação diferencial e esboce o gráfico de duas soluções.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para resolver uma equação diferencial que é , onde significa a derivada de em relação a . O conteúdo que estamos tratando aqui é sobre equações diferenciais, e nessa equação, a variável depende da variável . Para resolver essa equação, vamos usar o método de separação de variáveis. Vamos precisar apenas da próxima etapa para resolver isso!

Passo 2

Para resolver a equação , primeiro, podemos reescrever a derivada como . Assim, ficamos com a equação:
Agora, a ideia do método de separação de variáveis é isolar todas as variáveis de de um lado e todas as variáveis de do outro. Para isso, podemos dividir ambos os lados da equação por (desde que ) e multiplicar por . Assim, ficamos com:

Passo 3

Agora que temos as variáveis separadas, vamos integrar os dois lados. A integral do lado esquerdo é:
E a integral do lado direito é:
Juntando tudo, ficamos com:
onde é uma constante que vamos manter por enquanto.

Passo 4

Agora, para eliminar o logaritmo, vamos usar a função exponencial. Por causa disso, temos:
Podemos reescrever como uma nova constante , da seguinte forma:
E, como estamos falando sobre funções, podemos retirar o valor absoluto e dizer que:
onde pode ser qualquer número real. Essa é a solução geral da equação diferencial!

Resposta

A solução da equação diferencial é dada por , onde é uma constante. Para esboçar o gráfico de duas soluções, você pode escolher dois valores diferentes para , como e . Assim, as funções seriam e , que você pode desenhar para ter uma ideia de como elas se comportam.

Exercícios relacionados

Determine os valores de para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma .
Use convolução para achar:
Encontre a transformada de Laplace da função.
.