Resolva a equação diferencial x^prime=2 t x e esboce o gráfico de duas soluções.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para resolver uma equação diferencial que é x' = 2tx, onde x' significa a derivada de x em relação a t. O conteúdo que estamos tratando aqui é sobre equações diferenciais, e nessa equação, a variável x depende da variável t. Para resolver essa equação, vamos usar o método de separação de variáveis. Vamos precisar apenas da próxima etapa para resolver isso!

Passo 2

Para resolver a equação x' = 2tx, primeiro, podemos reescrever a derivada x' como dxdt. Assim, ficamos com a equação:
dxdt = 2tx
Agora, a ideia do método de separação de variáveis é isolar todas as variáveis de x de um lado e todas as variáveis de t do outro. Para isso, podemos dividir ambos os lados da equação por x (desde que x neq 0) e multiplicar por dt. Assim, ficamos com:
1x dx = 2t dt

Passo 3

Agora que temos as variáveis separadas, vamos integrar os dois lados. A integral do lado esquerdo é:
integral 1x dx = ln|x| + C1
E a integral do lado direito é:
integral 2t dt = t^2 + C2
Juntando tudo, ficamos com:
ln|x| = t^2 + C
onde C = C2 - C1 é uma constante que vamos manter por enquanto.

Passo 4

Agora, para eliminar o logaritmo, vamos usar a função exponencial. Por causa disso, temos:
|x| = e^t^2 + C = e^t^2 cdot e^C
Podemos reescrever e^C como uma nova constante K, da seguinte forma:
|x| = K e^t^2
E, como estamos falando sobre funções, podemos retirar o valor absoluto e dizer que:
x = Ke^t^2
onde K pode ser qualquer número real. Essa é a solução geral da equação diferencial!

Resposta

A solução da equação diferencial x' = 2tx é dada por x(t) = Ke^t^2, onde K é uma constante. Para esboçar o gráfico de duas soluções, você pode escolher dois valores diferentes para K, como K = 1 e K = -1. Assim, as funções seriam x(t) = e^t^2 e x(t) = -e^t^2, que você pode desenhar para ter uma ideia de como elas se comportam.

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