Determine os valores de para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma para :

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial que é . Queremos encontrar valores de para os quais a solução pode ser escrita na forma , onde é maior que zero. Para resolver, precisaremos derivar a função e substituí-la na equação diferencial para encontrar as condições sobre .

Passo 2

A primeira coisa que precisamos fazer é encontrar as derivadas de . Lembrando que , vamos calcular a primeira e a segunda derivada.
A primeira derivada é dada por:
Agora, vamos calcular a segunda derivada :

Passo 3

Agora que temos , e , vamos substituir tudo na equação diferencial original:
Substituindo:
Agora, vamos simplificar cada termo:
O primeiro termo:
O segundo termo:
O terceiro termo permanece o mesmo:
Assim, a equação fica:

Passo 4

Agora podemos colocar todos os termos semelhantes em evidência:
Como estamos interessados em valores de onde isso é verdade para , não podemos ter , então precisamos resolver a equação:

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula:

onde , , e .
Calculando o discriminante:
Então temos:

Passo 6

Vamos calcular as duas possíveis soluções para :
  1. Para o sinal positivo:

2. Para o sinal negativo:

Resposta

Os valores de para os quais a equação diferencial dada tem uma solução na forma são e .

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Determine o campo vetorial gradiente de f .
c.
Calcule :
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Determine os valores de para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma .