Determine os valores de
para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma
para
:
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial que é
. Queremos encontrar valores de
para os quais a solução pode ser escrita na forma
, onde
é maior que zero. Para resolver, precisaremos derivar a função
e substituí-la na equação diferencial para encontrar as condições sobre
.
Passo 2
A primeira coisa que precisamos fazer é encontrar as derivadas de
. Lembrando que
, vamos calcular a primeira e a segunda derivada.
A primeira derivada
é dada por:
Agora, vamos calcular a segunda derivada
:
Passo 3
Agora que temos
,
e
, vamos substituir tudo na equação diferencial original:
Substituindo:
Agora, vamos simplificar cada termo:
O primeiro termo:
O segundo termo:
O terceiro termo permanece o mesmo:
Assim, a equação fica:
Passo 4
Agora podemos colocar todos os termos semelhantes em evidência:
Como estamos interessados em valores de
onde isso é verdade para
, não podemos ter
, então precisamos resolver a equação:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula:
onde
Calculando o discriminante:
Então temos:
Passo 6
Vamos calcular as duas possíveis soluções para
:
- Para o sinal positivo:
2. Para o sinal negativo:
Resposta
Os valores de
para os quais a equação diferencial dada tem uma solução na forma
são
e
.
Exercícios relacionados
Determine o campo vetorial gradiente de f .
c.
c.
Calcule
:
©
©
Determine os valores de
para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma
.