Determine os valores de r para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma y=t^r para t>0: t^2 y^prime prime+4 t y^prime+2 y=0

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial que é t^2 y^prime prime+4 t y^prime+2 y=0. Queremos encontrar valores de r para os quais a solução pode ser escrita na forma y=t^r, onde t é maior que zero. Para resolver, precisaremos derivar a função y e substituí-la na equação diferencial para encontrar as condições sobre r.

Passo 2

A primeira coisa que precisamos fazer é encontrar as derivadas de y. Lembrando que y = t^r, vamos calcular a primeira e a segunda derivada.
A primeira derivada y' é dada por:
y' = ddt(t^r) = r t^r-1
Agora, vamos calcular a segunda derivada y'':
y'' = ddt(y') = ddt(r t^r-1) = r(r-1)t^r-2

Passo 3

Agora que temos y, y' e y'', vamos substituir tudo na equação diferencial original:
t^2 y^prime prime+4 t y^prime+2 y=0
Substituindo:
t^2(r(r-1)t^r-2) + 4t(r t^r-1) + 2(t^r) = 0
Agora, vamos simplificar cada termo:
O primeiro termo:
t^2(r(r-1)t^r-2) = r(r-1)t^r
O segundo termo:
4t(r t^r-1)= 4r t^r
O terceiro termo permanece o mesmo:
2(t^r) = 2t^r
Assim, a equação fica:
r(r-1)t^r + 4r t^r + 2t^r = 0

Passo 4

Agora podemos colocar todos os termos semelhantes em evidência:
(r(r-1) + 4r + 2)t^r = 0
Como estamos interessados em valores de r onde isso é verdade para t > 0, não podemos ter t^r = 0, então precisamos resolver a equação:
r(r-1) + 4r + 2 = 0

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão:
r^2 - r + 4r + 2 = 0 implies r^2 + 3r + 2 = 0
Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a,
onde a = 1, b = 3, e c = 2.
Calculando o discriminante:
b^2 - 4ac = 3^2 - 4 cdot 1 cdot 2 = 9 - 8 = 1
Então temos:
r = -3 pm 12

Passo 6

Vamos calcular as duas possíveis soluções para r:
  1. Para o sinal positivo:
r = -3 + 12 = -22 = -1
2. Para o sinal negativo:
r = -3 - 12 = -42 = -2

Resposta

Os valores de r para os quais a equação diferencial dada tem uma solução na forma y = t^r são r = -1 e r = -2.

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