Resp.
Resp.
Passo 1
Vamos começar resumindo o que você me enviou. A questão pede para resolver a equação diferencial
. O conteúdo envolvido aqui é equações diferenciais, mais especificamente equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.
Passo 2
Primeiro, observe que a equação
pode ser reorganizada para separar as variáveis
e
. A ideia é colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro. Para isso, vamos reescrever a equação como:
Isso nos ajuda a identificar que podemos separar as variáveis multiplicando ambos os lados por
e dividindo por
:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. A integração nos ajudará a encontrar uma relação entre
e
. Vamos integrar:
A integral de
em relação a
é
, e a integral de
em relação a
é
. Portanto:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Vamos resolver para
:
Podemos simplificar a constante
para uma nova constante
, já que
é arbitrária:
Passo 5
Agora, para isolar
, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados da equação. Primeiro, reescrevemos a equação como:
Tirando o logaritmo natural:
Passo 6
Finalmente, isolamos
dividindo ambos os lados por 2:
Podemos escrever isso de forma equivalente como:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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é uma função par enquanto
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