Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a série infinita:
Estamos trabalhando com séries numéricas, e precisamos determinar se essa série converge ou diverge. Se ela convergir, também vamos calcular a soma.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. Primeiro, vamos simplificar o numerador e o denominador separadamente.
No numerador:
No denominador:
Passo 3
Substituindo essas simplificações na série original:
Podemos distribuir o
:
Passo 4
Agora, vamos simplificar cada termo:
Para o primeiro termo:
Para o segundo termo:
Então, a série fica:
Passo 5
Podemos separar a série em duas séries individuais:
Reconhecemos que ambas as séries são séries geométricas da forma:
Onde
para convergirem, e a soma é dada por:
Passo 6
Vamos aplicar a fórmula da série geométrica para cada uma:
Para a primeira série:
A soma é:
Para a segunda série:
A soma é:
Resposta
A série converge e a soma é:
Portanto, a soma da série é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Resp.
Verifique que
é uma função par enquanto
é uma função ímpar.
Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite: