Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma: sumn=1^infty 2^n+3-3^4+n5^n-2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a série infinita:
sumn=1^infty 2^n+3 - 3^4+n5^n-2
Estamos trabalhando com séries numéricas, e precisamos determinar se essa série converge ou diverge. Se ela convergir, também vamos calcular a soma.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. Primeiro, vamos simplificar o numerador e o denominador separadamente.
No numerador:
2^n+3 = 2^n cdot 2^3 = 8 cdot 2^n
3^4+n = 3^n cdot 3^4 = 81 cdot 3^n
No denominador:
5^n-2 = 5^n cdot 5^-2 = 5^n25

Passo 3

Substituindo essas simplificações na série original:
sumn=1^infty 8 cdot 2^n - 81 cdot 3^n5^n25 = sumn=1^infty (8 cdot 2^n - 81 cdot 3^n) cdot 255^n
Podemos distribuir o 255^n:
sumn=1^infty (8 cdot 2^n cdot 255^n - 81 cdot 3^n cdot 255^n)

Passo 4

Agora, vamos simplificar cada termo:
Para o primeiro termo:
8 cdot 25 cdot 2^n5^n = 200 cdot (25)^n
Para o segundo termo:
81 cdot 25 cdot 3^n5^n = 2025 cdot (35)^n
Então, a série fica:
sumn=1^infty [200 cdot (25)^n - 2025 cdot (35)^n]

Passo 5

Podemos separar a série em duas séries individuais:
200 sumn=1^infty (25)^n - 2025 sumn=1^infty (35)^n
Reconhecemos que ambas as séries são séries geométricas da forma:
sumn=1^infty ar^n
Onde |r| < 1 para convergirem, e a soma é dada por:
ar1 - r

Passo 6

Vamos aplicar a fórmula da série geométrica para cada uma:
Para a primeira série:
  • a = 200
  • r = 25
A soma é:
200 cdot 251 - 25 = 200 cdot 2535 = 200 cdot 23 = 4003
Para a segunda série:
  • a = -2025
  • r = 35
A soma é:
-2025 cdot 351 - 35 = -2025 cdot 3525 = -2025 cdot 32 = -3037.5

Resposta

A série converge e a soma é:
4003 - 3037.5 = 4003 - 60752 = 800 - 182256 = -174256 approx -2904.17
Portanto, a soma da série é aproximadamente -2904.17.

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