é um exemplo de uma equação de Bernoulli. (Outra discussão sobre equações de Bernoulli veremos mais à frente no curso.)
(a) Mostre que a substituição
reduz a Equação (1) à equação
(b) Resolva a Equação (2) para
. Depois substitua
para obter a solução para a Equação (1).
(a) Mostre que a substituição
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial do tipo de Bernoulli:
O conteúdo aqui envolve equações diferenciais e, mais especificamente, uma substituição para simplificar a equação. Vamos precisar usar uma substituição adequada para transformar essa equação de Bernoulli em uma equação linear mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida:
. A ideia aqui é substituir
por uma nova variável
para simplificar a equação.
Para isso, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
. Sabemos que:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a equação original usando
e
. A equação original é:
Multiplicando ambos os lados por
(para facilitar a substituição):
Substituindo
e
:
Então, conseguimos reduzir a equação original para:
Passo 4
Agora que temos a equação linear:
Vamos resolver para
. Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem e podemos usar o método do fator integrante.
Passo 5
Primeiro, identificamos o coeficiente de
, que é 6. Calculamos o fator integrante (
) usando:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso transforma a esquerda da equação em uma derivada de
:
Passo 7
Integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para
. Para o lado direito, usamos integração por partes.
Passo 8
Aplicando integração por partes no lado direito:
Multiplicando por 3:
Passo 9
Então, temos:
Dividindo por
:
Passo 10
Agora, lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 11
Por fim, isolamos
:
Resposta
A solução da equação diferencial original é:
Onde
é a constante de integração.
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Considere que os juros sejam de
anualmente,
e nenhum dinheiro seja sacado.
(a) Quanto estará na conta depois de 2 anos?
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© Se forem acrescentados a cada 12 meses, quanto haverá na conta depois de 3 anos e meio?
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é satisfeito para
por
para
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(b) Mostre que o PVI
© Agora mostre que a função constante
(d) Finalmente, mostre que as condições do Teorema de Existência e Unicidade não são satisfeitas.
(A solução
O modelo logístico foi aplicado à uma população de linguados gigantes em determinadas áreas do Oceano Pacífico. Suponha que
, medido em quilogramas seja a massa total, ou biomassa, de população de lingua dos gigantes em um instante
. Os parâmetros na equação logística são estimados como tendo os valores
, 71/ano e
.
(e) Usando um dos métodos vistos em aula, encontre a solução da equação diferencial com a condição inicial indicada no item anterior.
(e) Usando um dos métodos vistos em aula, encontre a solução da equação diferencial com a condição inicial indicada no item anterior.
(a) Mostre que essa equação não é exata.
(b) Mostre que multiplicar os dois lados da equação por gera uma nova equação que é exata.
© Use a solução da equação exata resultante para solucionar a equação original.
(d) Algumas soluções foram perdidas no processo?
(b) Mostre que multiplicar os dois lados da equação por
© Use a solução da equação exata resultante para solucionar a equação original.
(d) Algumas soluções foram perdidas no processo?