é um exemplo de uma equação de Bernoulli. (Outra discussão sobre equações de Bernoulli veremos mais à frente no curso.)
(a) Mostre que a substituição
reduz a Equação (1) à equação
(b) Resolva a Equação (2) para
. Depois substitua
para obter a solução para a Equação (1).
(a) Mostre que a substituição
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial do tipo de Bernoulli:
O conteúdo aqui envolve equações diferenciais e, mais especificamente, uma substituição para simplificar a equação. Vamos precisar usar uma substituição adequada para transformar essa equação de Bernoulli em uma equação linear mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida:
. A ideia aqui é substituir
por uma nova variável
para simplificar a equação.
Para isso, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
. Sabemos que:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a equação original usando
e
. A equação original é:
Multiplicando ambos os lados por
(para facilitar a substituição):
Substituindo
e
:
Então, conseguimos reduzir a equação original para:
Passo 4
Agora que temos a equação linear:
Vamos resolver para
. Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem e podemos usar o método do fator integrante.
Passo 5
Primeiro, identificamos o coeficiente de
, que é 6. Calculamos o fator integrante (
) usando:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso transforma a esquerda da equação em uma derivada de
:
Passo 7
Integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para
. Para o lado direito, usamos integração por partes.
Passo 8
Aplicando integração por partes no lado direito:
Multiplicando por 3:
Passo 9
Então, temos:
Dividindo por
:
Passo 10
Agora, lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 11
Por fim, isolamos
:
Resposta
A solução da equação diferencial original é:
Onde
é a constante de integração.