d y/d x + 2 y = x y^-2
é um exemplo de uma equação de Bernoulli. (Outra discussão sobre equações de Bernoulli veremos mais à frente no curso.)
(a) Mostre que a substituição v = y^3 reduz a Equação (1) à equação
d v/d x + 6 v = 3 x
(b) Resolva a Equação (2) para v. Depois substitua v = y^3 para obter a solução para a Equação (1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial do tipo de Bernoulli:
O conteúdo aqui envolve equações diferenciais e, mais especificamente, uma substituição para simplificar a equação. Vamos precisar usar uma substituição adequada para transformar essa equação de Bernoulli em uma equação linear mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida: . A ideia aqui é substituir por uma nova variável para simplificar a equação.
Para isso, precisamos encontrar a derivada de em relação a . Sabemos que:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a equação original usando e . A equação original é:
Multiplicando ambos os lados por (para facilitar a substituição):
Substituindo e :
Então, conseguimos reduzir a equação original para:

Passo 4

Agora que temos a equação linear:
Vamos resolver para . Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem e podemos usar o método do fator integrante.

Passo 5

Primeiro, identificamos o coeficiente de , que é 6. Calculamos o fator integrante ( ) usando:

Passo 6

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso transforma a esquerda da equação em uma derivada de :

Passo 7

Integramos ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para . Para o lado direito, usamos integração por partes.

Passo 8

Aplicando integração por partes no lado direito:
Multiplicando por 3:

Passo 9

Então, temos:
Dividindo por :

Passo 10

Agora, lembrando que , substituímos de volta:

Passo 11

Por fim, isolamos :

Resposta

A solução da equação diferencial original é:
Onde é a constante de integração.

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