dP/dT = r/100 P, t em anos.
Considere que os juros sejam de 5 % anualmente, P(0)=\$ e nenhum dinheiro seja sacado.
(a) Quanto estará na conta depois de 2 anos?
(b) Quando a conta chegará a e nenhum dinheiro seja sacado. (a) Quanto estará na conta depois de 2 anos? (b) Quando a conta chegará a ?
© Se 4000 forem acrescentados a cada 12 meses, quanto haverá na conta depois de 3 anos e meio?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você enviou envolve resolver uma equação diferencial que modela o crescimento do dinheiro em uma conta com juros. A gente vai usar conceitos de crescimento exponencial e juros compostos para resolver as partes (a), (b) e ©. Vamos precisar entender como aplicar as fórmulas de juros para calcular o valor futuro da conta em diferentes situações.

Passo 2

Primeiro, temos a equação diferencial:
Aqui, é o valor na conta no tempo (em anos), e é a taxa de juros anual, que é 5%. Essa equação descreve como o dinheiro na conta cresce ao longo do tempo com juros compostos.
Para resolver essa equação, a gente sabe que a solução geral é:
Onde é o valor inicial, que no caso é $1000.

Passo 3

Parte (a): Quanto estará na conta depois de 2 anos?
Vamos usar a fórmula que acabamos de encontrar:
Substituindo os valores:
Então:
Calculando aproximadamente igual a 1.10517.

Passo 4

Parte (b): Quando a conta chegará a $4000?
Queremos encontrar o tempo quando .
Usando a mesma fórmula:
Dividindo ambos os lados por 1000:
Para resolver para , vamos usar o logaritmo natural:
Então:

Passo 5

Parte ©: Se $1000 forem acrescentados a cada 12 meses, quanto haverá na conta depois de 3 anos e meio?
Aqui, além dos juros compostos, estamos adicionando $1000 anualmente. Isso é um caso de annuidades, onde contribuímos regularmente para a conta.
A fórmula para o montante total com aportes regulares é:
Onde:
  • (aporte anual)
  • anos
Substituindo os valores:
Calculando e :

Resposta

(a) Depois de 2 anos, haverá aproximadamente $1105,17 na conta.
(b) A conta chegará a $4000 em aproximadamente 27,73 anos.
© Com aportes de $1000 a cada ano, após 3 anos e meio, haverá aproximadamente $5015,20 na conta.

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