Considere que os juros sejam de
anualmente,
e nenhum dinheiro seja sacado.
(a) Quanto estará na conta depois de 2 anos?
(b) Quando a conta chegará a
?
© Se
forem acrescentados a cada 12 meses, quanto haverá na conta depois de 3 anos e meio?
(a) Quanto estará na conta depois de 2 anos?
(b) Quando a conta chegará a
© Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você enviou envolve resolver uma equação diferencial que modela o crescimento do dinheiro em uma conta com juros. A gente vai usar conceitos de crescimento exponencial e juros compostos para resolver as partes (a), (b) e ©. Vamos precisar entender como aplicar as fórmulas de juros para calcular o valor futuro da conta em diferentes situações.
Passo 2
Primeiro, temos a equação diferencial:
Aqui,
é o valor na conta no tempo
(em anos), e
é a taxa de juros anual, que é 5%. Essa equação descreve como o dinheiro na conta cresce ao longo do tempo com juros compostos.
Para resolver essa equação, a gente sabe que a solução geral é:
Onde
é o valor inicial, que no caso é $1000.
Passo 3
Parte (a): Quanto estará na conta depois de 2 anos?
Vamos usar a fórmula que acabamos de encontrar:
Substituindo os valores:
Então:
Calculando
aproximadamente igual a 1.10517.
Passo 4
Parte (b): Quando a conta chegará a $4000?
Queremos encontrar o tempo
quando
.
Usando a mesma fórmula:
Dividindo ambos os lados por 1000:
Para resolver para
, vamos usar o logaritmo natural:
Então:
Passo 5
Parte ©: Se $1000 forem acrescentados a cada 12 meses, quanto haverá na conta depois de 3 anos e meio?
Aqui, além dos juros compostos, estamos adicionando $1000 anualmente. Isso é um caso de annuidades, onde contribuímos regularmente para a conta.
A fórmula para o montante total
com aportes regulares é:
Onde:
-
-
-
(aporte anual) -
anos
Substituindo os valores:
Calculando
e
:
Resposta
(a) Depois de 2 anos, haverá aproximadamente $1105,17 na conta.
(b) A conta chegará a $4000 em aproximadamente 27,73 anos.
© Com aportes de $1000 a cada ano, após 3 anos e meio, haverá aproximadamente $5015,20 na conta.
Exercícios relacionados
(a) Use o método da separação de variáveis para mostrar que
é uma solução.
(b) Mostre que o PVI com
é satisfeito para
por
para
© Agora mostre que a função constante também satisfaz o PVI dado no item (b). Assim, esse PVI não tem uma solução única.
(d) Finalmente, mostre que as condições do Teorema de Existência e Unicidade não são satisfeitas.
(A solução não foi perdida por causa da divisão por zero no processo de separação.)
(b) Mostre que o PVI
© Agora mostre que a função constante
(d) Finalmente, mostre que as condições do Teorema de Existência e Unicidade não são satisfeitas.
(A solução
(a) Calcule
(b) Calcule
© Determine e esboce o domínio de
(d) Determine a imagem de
é um exemplo de uma equação de Bernoulli. (Outra discussão sobre equações de Bernoulli veremos mais à frente no curso.)
(a) Mostre que a substituição reduz a Equação (1) à equação
(a) Mostre que a substituição
(b) Resolva a Equação (2) para
. Depois substitua
para obter a solução para a Equação (1).
O modelo logístico foi aplicado à uma população de linguados gigantes em determinadas áreas do Oceano Pacífico. Suponha que
, medido em quilogramas seja a massa total, ou biomassa, de população de lingua dos gigantes em um instante
. Os parâmetros na equação logística são estimados como tendo os valores
, 71/ano e
.
(e) Usando um dos métodos vistos em aula, encontre a solução da equação diferencial com a condição inicial indicada no item anterior.
(e) Usando um dos métodos vistos em aula, encontre a solução da equação diferencial com a condição inicial indicada no item anterior.