(a) Use o método da separação de variáveis para mostrar que
é uma solução.
(b) Mostre que o PVI
com
é satisfeito para
por
para
© Agora mostre que a função constante
também satisfaz o PVI dado no item (b). Assim, esse PVI não tem uma solução única.
(d) Finalmente, mostre que as condições do Teorema de Existência e Unicidade não são satisfeitas.
(A solução
não foi perdida por causa da divisão por zero no processo de separação.)
(b) Mostre que o PVI
© Agora mostre que a função constante
(d) Finalmente, mostre que as condições do Teorema de Existência e Unicidade não são satisfeitas.
(A solução
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre equações diferenciais, especificamente usando o método da separação de variáveis. Precisamos resolver várias partes que envolvem encontrar soluções para uma equação diferencial dada e analisar se a solução é única. Para isso, vamos precisar entender como separar as variáveis na equação e verificar as condições de existência e unicidade das soluções.
Passo 2
Parte (a): Queremos mostrar que
é uma solução da equação diferencial usando o método da separação de variáveis.
Primeiro, vamos lembrar que o método da separação de variáveis consiste em reorganizar a equação de forma que todas as
fiquem de um lado e todas as
do outro. Vamos supor que nossa equação diferencial seja
.
Aqui, queremos verificar se, ao substituir
na equação, ela satisfaz a relação dada.
Calculando a derivada de
:
Agora, se substituir essa
na equação diferencial original, veremos que ela se mantém válida, confirmando que essa expressão para
é, de fato, uma solução.
Passo 3
Parte (b): Agora, precisamos mostrar que o PVI
com a condição inicial
é satisfeito para
pela função
para
.
Vamos substituir
na solução encontrada:
Calculando a derivada:
Isso confirma que a função dada satisfaz a equação diferencial e também a condição inicial
, já que quando
,
.
Passo 4
Parte ©: Precisamos mostrar que a função constante
também satisfaz o PVI dado no item (b). Isso implica que o PVI não tem uma solução única.
Vamos verificar:
Então, a equação
se torna
, que é verdadeira. Além disso, a condição inicial
também é satisfeita. Portanto, além da solução
, temos a solução
, mostrando que há pelo menos duas soluções que satisfazem o PVI, ou seja, a solução não é única.
Passo 5
Parte (d): Agora, vamos mostrar que as condições do Teorema de Existência e Unicidade não são satisfeitas para esse PVI.
O Teorema de Picard-Lindelöf (Existência e Unicidade) diz que se a função
e sua derivada parcial em relação a
forem contínuas em uma região contendo o ponto inicial, então existe uma única solução para o PVI.
No nosso caso,
. A derivada parcial de
em relação a
é:
Essa derivada não é definida quando
(divisão por zero), ou seja, não é contínua no ponto
. Portanto, as condições do teorema não são atendidas, o que explica por que temos múltiplas soluções para o PVI dado.
Além disso, a observação adicional de que “A solução
não foi perdida por causa da divisão por zero no processo de separação” reforça que a falta de continuidade da derivada parcial é a razão para a não unicidade das soluções.
Resposta
Concluímos que, para o PVI
com
, existem pelo menos duas soluções:
para
e
. Isso ocorre porque as condições do Teorema de Existência e Unicidade não são satisfeitas, já que a derivada parcial de
em relação a
não é contínua no ponto inicial. Assim, o PVI não possui uma solução única.
Exercícios relacionados
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(b) Calcule
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(d) Determine a imagem de
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?
© Se , o que é
?
(d) Uma população de 2000 pode diminuir para 800 ?
(b) Se a população inicial é 3000 [ou seja,
© Se
(d) Uma população de 2000 pode diminuir para 800 ?
Considere que os juros sejam de
anualmente,
e nenhum dinheiro seja sacado.
(a) Quanto estará na conta depois de 2 anos?
(b) Quando a conta chegará a ?
© Se forem acrescentados a cada 12 meses, quanto haverá na conta depois de 3 anos e meio?
(a) Quanto estará na conta depois de 2 anos?
(b) Quando a conta chegará a
© Se
é um exemplo de uma equação de Bernoulli. (Outra discussão sobre equações de Bernoulli veremos mais à frente no curso.)
(a) Mostre que a substituição reduz a Equação (1) à equação
(a) Mostre que a substituição
(b) Resolva a Equação (2) para
. Depois substitua
para obter a solução para a Equação (1).