(a) Use o método da separação de variáveis para mostrar que y = (2x/3 + C)^(3/2) é uma solução.
(b) Mostre que o PVI d y / d x = y^(1/3) com y(0) = 0 é satisfeito para C=0 por y = (2 x / 3)^(3 / 2) para x >= 0
© Agora mostre que a função constante y ≡ 0 também satisfaz o PVI dado no item (b). Assim, esse PVI não tem uma solução única.
(d) Finalmente, mostre que as condições do Teorema de Existência e Unicidade não são satisfeitas.
(A solução y ≡ 0 não foi perdida por causa da divisão por zero no processo de separação.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre equações diferenciais, especificamente usando o método da separação de variáveis. Precisamos resolver várias partes que envolvem encontrar soluções para uma equação diferencial dada e analisar se a solução é única. Para isso, vamos precisar entender como separar as variáveis na equação e verificar as condições de existência e unicidade das soluções.

Passo 2

Parte (a): Queremos mostrar que é uma solução da equação diferencial usando o método da separação de variáveis.
Primeiro, vamos lembrar que o método da separação de variáveis consiste em reorganizar a equação de forma que todas as fiquem de um lado e todas as do outro. Vamos supor que nossa equação diferencial seja .
Aqui, queremos verificar se, ao substituir na equação, ela satisfaz a relação dada.
Calculando a derivada de :
Agora, se substituir essa na equação diferencial original, veremos que ela se mantém válida, confirmando que essa expressão para é, de fato, uma solução.

Passo 3

Parte (b): Agora, precisamos mostrar que o PVI com a condição inicial é satisfeito para pela função para .
Vamos substituir na solução encontrada:
Calculando a derivada:
Isso confirma que a função dada satisfaz a equação diferencial e também a condição inicial , já que quando , .

Passo 4

Parte ©: Precisamos mostrar que a função constante também satisfaz o PVI dado no item (b). Isso implica que o PVI não tem uma solução única.
Vamos verificar:
Então, a equação se torna , que é verdadeira. Além disso, a condição inicial também é satisfeita. Portanto, além da solução , temos a solução , mostrando que há pelo menos duas soluções que satisfazem o PVI, ou seja, a solução não é única.

Passo 5

Parte (d): Agora, vamos mostrar que as condições do Teorema de Existência e Unicidade não são satisfeitas para esse PVI.
O Teorema de Picard-Lindelöf (Existência e Unicidade) diz que se a função e sua derivada parcial em relação a forem contínuas em uma região contendo o ponto inicial, então existe uma única solução para o PVI.
No nosso caso, . A derivada parcial de em relação a é:
Essa derivada não é definida quando (divisão por zero), ou seja, não é contínua no ponto . Portanto, as condições do teorema não são atendidas, o que explica por que temos múltiplas soluções para o PVI dado.
Além disso, a observação adicional de que “A solução não foi perdida por causa da divisão por zero no processo de separação” reforça que a falta de continuidade da derivada parcial é a razão para a não unicidade das soluções.

Resposta

Concluímos que, para o PVI com , existem pelo menos duas soluções: para e . Isso ocorre porque as condições do Teorema de Existência e Unicidade não são satisfeitas, já que a derivada parcial de em relação a não é contínua no ponto inicial. Assim, o PVI não possui uma solução única.

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