O modelo logístico foi aplicado à uma população de linguados gigantes em determinadas áreas do Oceano Pacífico. Suponha que
, medido em quilogramas seja a massa total, ou biomassa, de população de lingua dos gigantes em um instante
. Os parâmetros na equação logística são estimados como tendo os valores
, 71/ano e
.
(e) Usando um dos métodos vistos em aula, encontre a solução da equação diferencial com a condição inicial indicada no item anterior.
(e) Usando um dos métodos vistos em aula, encontre a solução da equação diferencial com a condição inicial indicada no item anterior.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a equação logística aplicada à biomassa de linguados gigantes no Oceano Pacífico. A equação logística é usada para modelar o crescimento de populações, onde temos um crescimento que desacelera à medida que a população se aproxima de uma capacidade de suporte, chamada de capacidade de carga (
). Aqui, temos os parâmetros
por ano, que é a taxa de crescimento, e
. Para resolver essa equação diferencial, vamos precisar usar métodos de separação de variáveis e aplicar a condição inicial fornecida no item anterior.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação logística:
Substituindo os valores de
e
:
Passo 3
Vamos separar as variáveis para integrar. Reescrevendo a equação:
Passo 4
Para integrar o lado esquerdo, usamos frações parciais. Primeiro, simplificamos a fração:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados:
Isso resulta em:
Passo 6
Simplificamos a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Passo 7
Elevamos ambos os lados como potências de
para eliminar o logaritmo:
onde
é uma constante.
Passo 8
Resolvemos para
:
Passo 9
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
. Substituindo
:
Resolvendo para
:
Passo 10
Substituímos
de volta na expressão de
:
Simplificando:
Resposta
A solução da equação diferencial é: