O modelo logístico foi aplicado à uma população de linguados gigantes em determinadas áreas do Oceano Pacífico. Suponha que
, medido em quilogramas seja a massa total, ou biomassa, de população de lingua dos gigantes em um instante
. Os parâmetros na equação logística são estimados como tendo os valores
, 71/ano e
.
(e) Usando um dos métodos vistos em aula, encontre a solução da equação diferencial com a condição inicial indicada no item anterior.
(e) Usando um dos métodos vistos em aula, encontre a solução da equação diferencial com a condição inicial indicada no item anterior.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a equação logística aplicada à biomassa de linguados gigantes no Oceano Pacífico. A equação logística é usada para modelar o crescimento de populações, onde temos um crescimento que desacelera à medida que a população se aproxima de uma capacidade de suporte, chamada de capacidade de carga (
). Aqui, temos os parâmetros
por ano, que é a taxa de crescimento, e
. Para resolver essa equação diferencial, vamos precisar usar métodos de separação de variáveis e aplicar a condição inicial fornecida no item anterior.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação logística:
Substituindo os valores de
e
:
Passo 3
Vamos separar as variáveis para integrar. Reescrevendo a equação:
Passo 4
Para integrar o lado esquerdo, usamos frações parciais. Primeiro, simplificamos a fração:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados:
Isso resulta em:
Passo 6
Simplificamos a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Passo 7
Elevamos ambos os lados como potências de
para eliminar o logaritmo:
onde
é uma constante.
Passo 8
Resolvemos para
:
Passo 9
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
. Substituindo
:
Resolvendo para
:
Passo 10
Substituímos
de volta na expressão de
:
Simplificando:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
é um exemplo de uma equação de Bernoulli. (Outra discussão sobre equações de Bernoulli veremos mais à frente no curso.)
(a) Mostre que a substituição reduz a Equação (1) à equação
(a) Mostre que a substituição
(b) Resolva a Equação (2) para
. Depois substitua
para obter a solução para a Equação (1).
Considere que os juros sejam de
anualmente,
e nenhum dinheiro seja sacado.
(a) Quanto estará na conta depois de 2 anos?
(b) Quando a conta chegará a ?
© Se forem acrescentados a cada 12 meses, quanto haverá na conta depois de 3 anos e meio?
(a) Quanto estará na conta depois de 2 anos?
(b) Quando a conta chegará a
© Se
(a) Mostre que essa equação não é exata.
(b) Mostre que multiplicar os dois lados da equação por gera uma nova equação que é exata.
© Use a solução da equação exata resultante para solucionar a equação original.
(d) Algumas soluções foram perdidas no processo?
(b) Mostre que multiplicar os dois lados da equação por
© Use a solução da equação exata resultante para solucionar a equação original.
(d) Algumas soluções foram perdidas no processo?
Verifique que, para a funçio de produção de Cobb-Douglas
discutida no Exemplo 3, a produçĩo dobrará se as quantidades de trabalho e a de capital investido forem dobradas. Determine se isto também é verdade para uma funçăo de produçĩo genérica