O modelo logístico foi aplicado à uma população de linguados gigantes em determinadas áreas do Oceano Pacífico. Suponha que y, medido em quilogramas seja a massa total, ou biomassa, de população de lingua dos gigantes em um instante t. Os parâmetros na equação logística são estimados como tendo os valores r = 0, 71/ano e K = 80,5 * 10^6 Kg.
(e) Usando um dos métodos vistos em aula, encontre a solução da equação diferencial com a condição inicial indicada no item anterior.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a equação logística aplicada à biomassa de linguados gigantes no Oceano Pacífico. A equação logística é usada para modelar o crescimento de populações, onde temos um crescimento que desacelera à medida que a população se aproxima de uma capacidade de suporte, chamada de capacidade de carga ( K). Aqui, temos os parâmetros por ano, que é a taxa de crescimento, e . Para resolver essa equação diferencial, vamos precisar usar métodos de separação de variáveis e aplicar a condição inicial fornecida no item anterior.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação logística:
Substituindo os valores de r e K:

Passo 3

Vamos separar as variáveis para integrar. Reescrevendo a equação:

Passo 4

Para integrar o lado esquerdo, usamos frações parciais. Primeiro, simplificamos a fração:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados:
Isso resulta em:

Passo 6

Simplificamos a expressão usando propriedades dos logaritmos:

Passo 7

Elevamos ambos os lados como potências de e para eliminar o logaritmo:
onde é uma constante.

Passo 8

Resolvemos para y:

Passo 9

Aplicamos a condição inicial para encontrar . Substituindo :
Resolvendo para :

Passo 10

Substituímos de volta na expressão de y(t):
Simplificando:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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