Dacomine o limite, sc existir, ou mostre que o limite nào existe.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite de duas variáveis juntos. O enunciado pede para calcular:
Para isso, vamos usar o conceito de limites em funções de várias variáveis. Precisamos verificar se o limite é o mesmo quando nos aproximamos do ponto
por diferentes caminhos. Se for o mesmo por todos os caminhos, o limite existe; se não, ele não existe.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar nos aproximar do ponto
seguindo a linha horizontal onde
. Substituindo
por
na expressão:
Simplificando o denominador:
Agora, calculamos o limite quando
se aproxima de
:
Então, pelo caminho
, o limite é
.
Passo 3
Vamos agora nos aproximar do ponto
seguindo a linha
. Substituindo
por
na expressão:
Podemos fatorar o denominador:
Então, a expressão fica:
Calculando o limite quando
se aproxima de
:
Então, pelo caminho
, o limite é
.
Resposta
Como os limites encontrados pelos caminhos
e
são diferentes (
), o limite não existe.
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Determine para quais valores de
as igualdades abaixo são satisfeitas.