Dacomine o limite, sc existir, ou mostre que o limite nào existe.
lim (x, y) (2,1) x-2x^2+y^2-5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite de duas variáveis juntos. O enunciado pede para calcular:
lim(x, y) (2,1) x-2x^2+y^2-5
Para isso, vamos usar o conceito de limites em funções de várias variáveis. Precisamos verificar se o limite é o mesmo quando nos aproximamos do ponto (2,1) por diferentes caminhos. Se for o mesmo por todos os caminhos, o limite existe; se não, ele não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar nos aproximar do ponto (2,1) seguindo a linha horizontal onde y = 1. Substituindo y por 1 na expressão:
x-2x^2+1^2-5 = x-2x^2 -4
Simplificando o denominador:
x-2(x-2)(x+2) = 1x+2
Agora, calculamos o limite quando x se aproxima de 2:
limx to 2 1x+2 = 14
Então, pelo caminho y = 1, o limite é 14.

Passo 3

Vamos agora nos aproximar do ponto (2,1) seguindo a linha y = x -1. Substituindo y por x -1 na expressão:
x-2x^2 + (x -1)^2 -5 = x-2x^2 + x^2 -2x +1 -5 = x-22x^2 -2x -4
Podemos fatorar o denominador:
2x^2 -2x -4 = 2(x^2 -x -2) = 2(x-2)(x+1)
Então, a expressão fica:
x-22(x-2)(x+1) = 12(x+1)
Calculando o limite quando x se aproxima de 2:
limx to 2 12(x+1) = 16
Então, pelo caminho y = x -1, o limite é 16.

Resposta

Como os limites encontrados pelos caminhos y = 1 e y = x -1 são diferentes ( 14 neq 16), o limite não existe.

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