integral0^2 integral0^x^2 y d y d x+165

Passo 1

Vamos resumir o exercício: precisamos calcular a integral dupla integral0^2 integral0^x^2 y , dy , dx e depois somar 165. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais duplas e integrar funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é integral0^x^2 y , dy. Isso significa que vamos integrar a função y em relação a y, mantendo x constante.

Passo 3

A integral de y em relação a y é:
integral y , dy = y^22 + C
Onde C é a constante de integração. Como estamos com limites definidos, podemos ignorar C.

Passo 4

Agora, vamos avaliar a integral de y de 0 até x^2:
y^22 |0^x^2 = (x^2)^22 - 0^22 = x^42

Passo 5

Com o resultado da integral interna, agora temos que calcular a integral externa:
integral0^2 x^42 , dx = 12 integral0^2 x^4 , dx

Passo 6

Vamos resolver a integral integral x^4 , dx:
integral x^4 , dx = x^55 + C
Avaliando de 0 até 2:
x^55 |0^2 = 2^55 - 0^55 = 325

Passo 7

Multiplicando pelo fator 12:
12 times 325 = 165

Passo 8

Finalmente, somamos 165 ao resultado da integral:
165 + 165 = 325

Resposta

325

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