Dada a aplicação
Mostre que
é um operador linear.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a aplicação
, definida por
, é um operador linear. Para isso, vamos usar os conceitos de álgebra linear, especificamente as propriedades que definem um operador linear. Vamos precisar verificar se
satisfaz duas condições principais: aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre aditividade. Isso significa que, para dois vetores quaisquer
e
em
, a aplicação de
na soma desses vetores deve ser igual à soma das aplicações de
em cada vetor separadamente. Ou seja, precisamos verificar se:
Passo 3
Vamos calcular
:
Agora, aplicando
nessa soma:
Por outro lado, vamos calcular
:
Vemos que:
Então, a aditividade está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a homogeneidade. Isso significa que, para um vetor
em
e um escalar
, a aplicação de
no vetor multiplicado por
deve ser igual ao vetor
multiplicado por
. Ou seja, precisamos checar se:
Passo 5
Calculando
:
Aplicando
nesse vetor:
Agora, calculando
:
Observamos que:
Portanto, a homogeneidade também está satisfeita.
Resposta
Como
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que
é, de fato, um operador linear.
Exercícios relacionados
Determinar as coordenados dos vetores abaixo em relaçao às bases dadas:
d) em relação à base
de
.
d)
Mostre que o conjunto de vetores dados abaixo é uma base de
.
Dar uma base e a dimensão do subespaço
de
tal que
e
Determine quais das seguintes funções são aplicações lineares
(v) ;
(v)