Dada a aplicação
& T: R^2 longrightarrow R^2 &(x, y) & longmapsto T(x, y)=(2 y, x+y) :
Mostre que T é um operador linear.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a aplicação , definida por , é um operador linear. Para isso, vamos usar os conceitos de álgebra linear, especificamente as propriedades que definem um operador linear. Vamos precisar verificar se satisfaz duas condições principais: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre aditividade. Isso significa que, para dois vetores quaisquer T(u + v) = T(u) + T(v) e em , a aplicação de na soma desses vetores deve ser igual à soma das aplicações de em cada vetor separadamente. Ou seja, precisamos verificar se:

Passo 3

Vamos calcular u + v = (x1 + x2, y1 + y2) :
T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = (2(y1 + y2), (x1 + x2) + (y1 + y2)) = (2y1 + 2y2, x1 + x2 + y1 + y2)
Agora, aplicando T(u) = (2y1, x1 + y1) nessa soma:
T(v) = (2y2, x2 + y2)
Por outro lado, vamos calcular T(u) + T(v) = (2y1 + 2y2, x1 + y1 + x2 + y2) = (2y1 + 2y2, x1 + x2 + y1 + y2) :
T(u + v) = T(u) + T(v)
Vemos que:
Então, a aditividade está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a homogeneidade. Isso significa que, para um vetor T(cu) = cT(u) em e um escalar , a aplicação de no vetor multiplicado por deve ser igual ao vetor multiplicado por . Ou seja, precisamos checar se:

Passo 5

Calculando cu = (cx, cy) :
T(cu) = T(cx, cy) = (2(cy), cx + cy) = (2c y, c x + c y)
Aplicando T(u) = (2y, x + y) nesse vetor:
cT(u) = c(2y, x + y) = (2c y, c x + c y)
Agora, calculando T(cu) = cT(u) :
Observamos que:
Portanto, a homogeneidade também está satisfeita.

Resposta

Como satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que é, de fato, um operador linear.

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