Determine quais das seguintes funções são aplicações lineares
(v) T(x, y)=(1+x, y);

Passo 1

Vamos analisar a função para verificar se ela é uma aplicação linear. Para isso, precisamos entender o que é uma aplicação linear e quais propriedades ela deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, uma aplicação linear deve obedecer a duas propriedades fundamentais:
  1. Adição:
  2. Homogeneidade:
    onde e são vetores no domínio da função, e é um escalar.

Passo 3

Vamos verificar a propriedade da adição. Se considerarmos dois vetores T((x1, y1) + (x2, y2)) = T(x1 + x2, y1 + y2) = (1 + x1 + x2, y1 + y2) e T(x1, y1) + T(x2, y2) = (1 + x1, y1) + (1 + x2, y2) = (2 + x1 + x2, y1 + y2) , temos:
Por outro lado:
Claramente, , então a propriedade da adição não é satisfeita.

Passo 4

Já que a primeira propriedade não foi atendida, não precisamos verificar a segunda. Mas, para completar, vamos ver a homogeneidade com um escalar T(c(x, y)) = T(cx, cy) = (1 + cx, cy) :
cT(x, y) = c(1 + x, y) = (c + cx, cy)
Enquanto:
Aqui, não é igual a a menos que , o que não é geral.

Resposta

A função não é uma aplicação linear.

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