Determine quais das seguintes funções são aplicações lineares
(v) ;
Passo 1
Vamos analisar a função para verificar se ela é uma aplicação linear. Para isso, precisamos entender o que é uma aplicação linear e quais propriedades ela deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, uma aplicação linear deve obedecer a duas propriedades fundamentais:
Adição:
Homogeneidade:
onde e são vetores no domínio da função, e é um escalar.
Passo 3
Vamos verificar a propriedade da adição. Se considerarmos dois vetores e , temos:
Por outro lado:
Claramente, , então a propriedade da adição não é satisfeita.
Passo 4
Já que a primeira propriedade não foi atendida, não precisamos verificar a segunda. Mas, para completar, vamos ver a homogeneidade com um escalar :
Enquanto:
Aqui, não é igual a a menos que , o que não é geral.