Dar uma base e a dimensão do subespaço
de
tal que
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma base e a dimensão do subespaço
de
definido pelas equações:
Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e sistemas lineares para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar as equações que definem
. A primeira equação é:
Podemos rearranjar isso para descobrir
em função de
:
Então, já sabemos que
depende de
.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda equação:
Substituindo
por
(que encontramos no passo anterior):
Simplificando:
Com isso, encontramos que
. E como
, temos:
Passo 4
Agora que sabemos que
e
, as demais variáveis
e
não estão restritas pelas equações. Isso significa que
e
podem ser quaisquer números reais. Portanto, podemos expressar os vetores em
da seguinte forma:
Passo 5
Para encontrar uma base para
, precisamos identificar vetores que gerem todos os elementos de
de forma linearmente independente. Observando a estrutura de
, vemos que as componentes fixas são
e
, enquanto
e
são livres.
Podemos reescrever qualquer vetor em
como:
Aqui,
é um vetor particular e
e
são vetores que formam a base do subespaço.
Passo 6
Portanto, a base de
é composta pelos vetores:
E a dimensão de
é o número de vetores na base, que neste caso é 3.
Resposta
A base de
é
e a dimensão de
é 3.
Exercícios relacionados
Dada a aplicação
Mostre que
é um operador linear.
Determinar as coordenados dos vetores abaixo em relaçao às bases dadas:
d) em relação à base
de
.
d)
Determine quais das seguintes funções são aplicações lineares
(v) ;
(v)
5a) todas as matrizes
com entradas inteiras