Dar uma base e a dimensão do subespaço W de R^4 tal que W=(x, y, z, t) in R^4 mid x-y=y e x-3 y+7=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma base e a dimensão do subespaço W = (x, y, z, t) in R^4 mid x - y = y e x - 3y + 7 = 0 de definido pelas equações:
Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e sistemas lineares para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar as equações que definem x - y = y . A primeira equação é:
x = 2y
Podemos rearranjar isso para descobrir em função de :
Então, já sabemos que depende de .

Passo 3

Agora, vamos para a segunda equação:
x - 3y + 7 = 0
Substituindo 2y - 3y + 7 = 0 por -y + 7 = 0 Rightarrow y = 7 (que encontramos no passo anterior):
x = 2 times 7 = 14
Simplificando:
Com isso, encontramos que . E como , temos:

Passo 4

Agora que sabemos que W = (14, 7, z, t) mid z, t in R e , as demais variáveis e não estão restritas pelas equações. Isso significa que e podem ser quaisquer números reais. Portanto, podemos expressar os vetores em da seguinte forma:

Passo 5

Para encontrar uma base para (14, 7, z, t) = (14, 7, 0, 0) + z cdot (0, 0, 1, 0) + t cdot (0, 0, 0, 1) , precisamos identificar vetores que gerem todos os elementos de de forma linearmente independente. Observando a estrutura de , vemos que as componentes fixas são e , enquanto e são livres.
Podemos reescrever qualquer vetor em como:
Aqui, é um vetor particular e e são vetores que formam a base do subespaço.

Passo 6

Portanto, a base de , (14, 7, 0, 0), ; (0, 0, 1, 0), ; (0, 0, 0, 1) , é composta pelos vetores:
E a dimensão de é o número de vetores na base, que neste caso é 3.

Resposta

A base de é e a dimensão de é 3.

Exercícios relacionados

Dada a aplicação
& T: R^2 longrightarrow R^2 &(x, y) & longmapsto T(x, y)=(2 y, x+y) :
Mostre que T é um operador linear.
Determinar as coordenados dos vetores abaixo em relaçao às bases dadas:
d) (rr2 & 0 -1 & 3) em relação à base (rr-1 & 1 0 & 0),(ll1 & 1 0 & 0),(ll0 & 0 1 & 0),(ll0 & 0 0 & 1) de M2(R).
Determine quais das seguintes funções são aplicações lineares
(v) T(x, y)=(1+x, y);
5a) todas as matrizes 2 times 2 com entradas inteiras