(2,0) Dada a base alpha=(-1,1,0),(1,-1,1),(2,0,1) e a base canônica beta=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) de R^3, determine:
b) A matriz de mudança de base de beta para a base alpha.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas bases para o espaço tridimensional R^3: a base alpha que é (-1,1,0),(1,-1,1),(2,0,1) e a base canônica beta, que é a base padrão (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1). O que precisamos fazer é encontrar a matriz de mudança de base que nos leva da base beta para a base alpha. Para isso, vamos usar conceitos de matrizes e inversão de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz formada pelos vetores da base alpha. Cada vetor de alpha será uma coluna dessa matriz:
A = -1 & 1 & 2 1 & -1 & 0 0 & 1 & 1

Passo 3

A matriz de mudança de base de beta para alpha, que vamos chamar de Pbeta to alpha, é exatamente a inversa da matriz A. Ou seja:
Pbeta to alpha = A^-1
Então, precisamos calcular A^-1.

Passo 4

Vamos calcular a inversa da matriz A. Primeiro, encontramos o determinante de A para garantir que ela é invertível:
det(A) = (-1)(-1 cdot 1 - 0 cdot 1) - 1(1 cdot 1 - 0 cdot 0) + 2(1 cdot 1 - (-1) cdot 0) = 2
Como o determinante é diferente de zero, a matriz A é invertível.
Agora, calculamos a matriz adjunta de A e depois dividimos cada elemento por det(A):
A^-1 = 12 -1 & 1 & 2 -1 & -1 & 2 1 & 1 & 0

Resposta

A matriz de mudança de base de beta para alpha é:
Pbeta to alpha = -12 & 12 & 1 -12 & -12 & 1 12 & 12 & 0

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