(2,0) Dada a base e a base canônica de , determine:
b) A matriz de mudança de base de para a base .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas bases para o espaço tridimensional : a base que é e a base canônica , que é a base padrão . O que precisamos fazer é encontrar a matriz de mudança de base que nos leva da base para a base . Para isso, vamos usar conceitos de matrizes e inversão de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz formada pelos vetores da base . Cada vetor de será uma coluna dessa matriz:
Passo 3
A matriz de mudança de base de para , que vamos chamar de , é exatamente a inversa da matriz . Ou seja:
Então, precisamos calcular .
Passo 4
Vamos calcular a inversa da matriz . Primeiro, encontramos o determinante de para garantir que ela é invertível:
Como o determinante é diferente de zero, a matriz é invertível.
Agora, calculamos a matriz adjunta de e depois dividimos cada elemento por :