(2,0) Dada a base e a base canônica de , determine:
c) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de álgebra linear que fala sobre mudar as coordenadas de um vetor da base canônica para outra base, que no caso é a base . O que precisamos fazer é encontrar as coordenadas de um vetor qualquer na base .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que queremos expressar o vetor como uma combinação linear dos vetores da base . Ou seja, precisamos achar os escalares , e que satisfazem a seguinte equação:
Passo 3
Agora, vamos montar um sistema de equações com base nessa combinação linear. Ao expandir os vetores, temos:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Começamos pela terceira equação, que é simples:
c2 + c3 = z Rightarrow c2 = z - c3
Passo 5
Substituímos c1 - (z - c3) = y Rightarrow c1 - z + c3 = y Rightarrow c1 + c3 = y + z na segunda equação:
Passo 6
Agora, substituímos - c1 + (z - c3) + 2c3 = x Rightarrow -c1 + z + c3 = x Rightarrow -c1 + c3 = x - z na primeira equação:
Passo 7
Temos agora duas equações com c1 + c3 = y + z - c1 + c3 = x - z e (c1 + c3) + (-c1 + c3) = (y + z) + (x - z) Rightarrow 2c3 = x + y :
Rightarrow c3 = x + y2
Vamos somar essas duas equações para eliminar :
Passo 8
Com c1 + x + y2 = y + z Rightarrow c1 = y + z - x + y2 = 2y + 2z - x - y2 = y + 2z - x2 encontrado, substituímos de volta na equação para achar :
Passo 9
Agora que temos c2 = z - x + y2 = 2z - x - y2 e , podemos achar usando :
Resposta
Portanto, as coordenadas de [(x, y, z)]alpha = ( y + 2z - x2, 2z - x - y2, x + y2 ) na base são: