(2,0) Dada a base e a base canônica de , determine:
c) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de álgebra linear que fala sobre mudar as coordenadas de um vetor da base canônica para outra base, que no caso é a base . O que precisamos fazer é encontrar as coordenadas de um vetor qualquer na base .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que queremos expressar o vetor como uma combinação linear dos vetores da base . Ou seja, precisamos achar os escalares , e que satisfazem a seguinte equação:

Passo 3

Agora, vamos montar um sistema de equações com base nessa combinação linear. Ao expandir os vetores, temos:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Começamos pela terceira equação, que é simples:

Passo 5

Substituímos na segunda equação:

Passo 6

Agora, substituímos na primeira equação:

Passo 7

Temos agora duas equações com e :
Vamos somar essas duas equações para eliminar :

Passo 8

Com encontrado, substituímos de volta na equação para achar :

Passo 9

Agora que temos e , podemos achar usando :

Resposta

Portanto, as coordenadas de na base são:

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a) A matriz de mudança de base de para a base .
Qual o volume do cubo determinado pelos vetores e ?
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b) A matriz de mudança de base de para a base .
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