(2,0) Dada a base alpha=(-1,1,0),(1,-1,1),(2,0,1) e a base canônica beta=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) de R^3, determine:
c) [(x, y, z)]alpha.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de álgebra linear que fala sobre mudar as coordenadas de um vetor da base canônica para outra base, que no caso é a base . O que precisamos fazer é encontrar as coordenadas de um vetor qualquer na base .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa c1 cdot (-1,1,0) + c2 cdot (1,-1,1) + c3 cdot (2,0,1) = (x, y, z) . Isso quer dizer que queremos expressar o vetor como uma combinação linear dos vetores da base . Ou seja, precisamos achar os escalares , e que satisfazem a seguinte equação:

Passo 3

Agora, vamos montar um sistema de equações com base nessa combinação linear. Ao expandir os vetores, temos:
- c1 + c2 + 2c3 = x c1 - c2 = y c2 + c3 = z

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Começamos pela terceira equação, que é simples:
c2 + c3 = z Rightarrow c2 = z - c3

Passo 5

Substituímos c1 - (z - c3) = y Rightarrow c1 - z + c3 = y Rightarrow c1 + c3 = y + z na segunda equação:

Passo 6

Agora, substituímos - c1 + (z - c3) + 2c3 = x Rightarrow -c1 + z + c3 = x Rightarrow -c1 + c3 = x - z na primeira equação:

Passo 7

Temos agora duas equações com c1 + c3 = y + z - c1 + c3 = x - z e (c1 + c3) + (-c1 + c3) = (y + z) + (x - z) Rightarrow 2c3 = x + y :
Rightarrow c3 = x + y2
Vamos somar essas duas equações para eliminar :

Passo 8

Com c1 + x + y2 = y + z Rightarrow c1 = y + z - x + y2 = 2y + 2z - x - y2 = y + 2z - x2 encontrado, substituímos de volta na equação para achar :

Passo 9

Agora que temos c2 = z - x + y2 = 2z - x - y2 e , podemos achar usando :

Resposta

Portanto, as coordenadas de [(x, y, z)]alpha = ( y + 2z - x2, 2z - x - y2, x + y2 ) na base são:

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