(2,0) Sejam e subespaços de . Encontre as dimensões de e . Temos que ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Álgebra Linear onde trabalhamos com subespaços de matrizes . O que queremos descobrir são as dimensões de e . Além disso, vamos verificar se a soma desses subespaços, , é igual a todo o espaço . Para isso, vamos precisar entender o conceito de subespaços, soma e interseção de subespaços, além de calcular dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são e . A subespaço é formado apenas pela matriz:
Isso significa que é gerado por uma única matriz, então a dimensão de é 1.

Passo 3

Agora, vamos olhar para :
Temos três matrizes aqui. Para encontrar a dimensão de , precisamos verificar se essas matrizes são linearmente independentes. Se forem, a dimensão será 3; se não, será menor.

Passo 4

Vamos montar uma combinação linear dessas matrizes igualando a zero:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo, percebemos que e . Isso mostra que as matrizes não são todas independentes, então a dimensão de é 2.

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula da dimensão da soma e interseção de subespaços:
Sabemos que e . Precisamos encontrar .

Passo 6

Para encontrar , procuramos matrizes que estão em ambos os subespaços. A única matriz em é:
Vamos ver se essa matriz está em . Para isso, verificamos se existe uma combinação linear das matrizes de que resulta nela:
Isso resulta no sistema:
A primeira equação não tem solução, então não há nenhuma matriz comum entre e . Portanto, e .

Passo 7

Aplicando a fórmula:
Então, a dimensão de é 3.

Resposta

A dimensão de é 3 e a dimensão de é 0. Além disso, não é igual a , já que tem dimensão 4.

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(a) é anti-simétrica. Que podemos dizer se não for uma matriz quadrada?
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© Ilustre a propriedade © para a matriz .
Os três exercícios seguintes e 12) referem-se a uma corda esticada, constituída de uma parte mais fina (1) ligada a outra parte mais grossa (2), ligada a uma parede,
11) Sendo a velocidade de propagação da onda na corda (2). determine a distância entre duas cristas consecutivas nesta corda.