(2,0) Sejam U=[(ll1 & 0 0 & 0)] e W=[(ll0 & 1 1 & 1),(ll0 & 1 1 & 0),(ll0 & 0 0 & 1)] subespaços de M(2,2). Encontre as dimensões de U+W e U cap W. Temos que U+W=M(2,2) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Álgebra Linear onde trabalhamos com subespaços de matrizes . O que queremos descobrir são as dimensões de e . Além disso, vamos verificar se a soma desses subespaços, , é igual a todo o espaço . Para isso, vamos precisar entender o conceito de subespaços, soma e interseção de subespaços, além de calcular dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são U = 1 & 0 0 & 0 e . A subespaço é formado apenas pela matriz:
Isso significa que é gerado por uma única matriz, então a dimensão de é 1.

Passo 3

Agora, vamos olhar para W = 0 & 1 1 & 1 , 0 & 1 1 & 0 , 0 & 0 0 & 1 :
Temos três matrizes aqui. Para encontrar a dimensão de , precisamos verificar se essas matrizes são linearmente independentes. Se forem, a dimensão será 3; se não, será menor.

Passo 4

Vamos montar uma combinação linear dessas matrizes igualando a zero:
a 0 & 1 1 & 1 + b 0 & 1 1 & 0 + c 0 & 0 0 & 1 = 0 & 0 0 & 0
Isso nos dá o sistema de equações:
0a + 0b + 0c = 0 a + b + 0c = 0 a + b + 0c = 0 a + 0b + c = 0
Resolvendo, percebemos que e . Isso mostra que as matrizes não são todas independentes, então a dimensão de é 2.

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula da dimensão da soma e interseção de subespaços:
dim(U + W) = dim U + dim W - dim(U cap W)
Sabemos que e . Precisamos encontrar .

Passo 6

Para encontrar 1 & 0 0 & 0 , procuramos matrizes que estão em ambos os subespaços. A única matriz em a 0 & 1 1 & 1 + b 0 & 1 1 & 0 + c 0 & 0 0 & 1 = 1 & 0 0 & 0 é:
0 = 1 a + b = 0 a + b = 0 a + c = 0
Vamos ver se essa matriz está em . Para isso, verificamos se existe uma combinação linear das matrizes de que resulta nela:
Isso resulta no sistema:
A primeira equação não tem solução, então não há nenhuma matriz comum entre e . Portanto, e .

Passo 7

Aplicando a fórmula:
dim(U + W) = 1 + 2 - 0 = 3
Então, a dimensão de é 3.

Resposta

A dimensão de é 3 e a dimensão de é 0. Além disso, não é igual a , já que tem dimensão 4.

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