(2,0) Sejam e subespaços de . Encontre as dimensões de e . Temos que ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Álgebra Linear onde trabalhamos com subespaços de matrizes . O que queremos descobrir são as dimensões de e . Além disso, vamos verificar se a soma desses subespaços, , é igual a todo o espaço . Para isso, vamos precisar entender o conceito de subespaços, soma e interseção de subespaços, além de calcular dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são e . A subespaço é formado apenas pela matriz:
Isso significa que é gerado por uma única matriz, então a dimensão de é 1.
Passo 3
Agora, vamos olhar para :
Temos três matrizes aqui. Para encontrar a dimensão de , precisamos verificar se essas matrizes são linearmente independentes. Se forem, a dimensão será 3; se não, será menor.
Passo 4
Vamos montar uma combinação linear dessas matrizes igualando a zero:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo, percebemos que e . Isso mostra que as matrizes não são todas independentes, então a dimensão de é 2.
Passo 5
Agora, vamos usar a fórmula da dimensão da soma e interseção de subespaços:
dim(U + W) = dim U + dim W - dim(U cap W)
Sabemos que e . Precisamos encontrar .
Passo 6
Para encontrar 1 & 0 0 & 0 , procuramos matrizes que estão em ambos os subespaços. A única matriz em a 0 & 1 1 & 1 + b 0 & 1 1 & 0 + c 0 & 0 0 & 1 = 1 & 0 0 & 0 é:
0 = 1 a + b = 0 a + b = 0 a + c = 0
Vamos ver se essa matriz está em . Para isso, verificamos se existe uma combinação linear das matrizes de que resulta nela:
Isso resulta no sistema:
A primeira equação não tem solução, então não há nenhuma matriz comum entre e . Portanto, e .
Passo 7
Aplicando a fórmula:
dim(U + W) = 1 + 2 - 0 = 3
Então, a dimensão de é 3.
Resposta
A dimensão de é 3 e a dimensão de é 0. Além disso, não é igual a , já que tem dimensão 4.