Seja A uma matriz quadrada. Mostre que:
(a) A-A^t é anti-simétrica. Que podemos dizer se A não for uma matriz quadrada?
(b) Toda matriz quadrada C é a soma de uma matriz simétrica e uma anti-simétrica. Sugestão: Use as matrizes A+A^t e A-A^t.
© Ilustre a propriedade © para a matriz C=[arraylll1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9].

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício sobre matrizes quadradas! A gente tem três partes para resolver, todas envolvendo conceitos de matrizes simétricas e anti-simétricas. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser transposta, simétrica e anti-simétrica, além de como somar matrizes. Vamos lá!

Passo 2

Parte (a): Mostrar que (A - A^t)^t = A^t - (A^t)^t = A^t - A = -(A - A^t) é anti-simétrica e analisar o caso de não ser quadrada.
Primeiro, vamos lembrar que a transposta de uma matriz , denotada por , é obtida trocando as linhas pelas colunas. Uma matriz é chamada de anti-simétrica se ela satisfaz .
Vamos calcular a transposta de :
Então, , o que significa que é anti-simétrica.
Agora, se não for uma matriz quadrada, então tem dimensões diferentes de , tornando a subtração impossível ou sem sentido matematicamente. Portanto, essa propriedade só vale para matrizes quadradas.

Passo 3

Parte (b): Mostrar que toda matriz quadrada S = C + C^t2 (matriz simétrica) é a soma de uma matriz simétrica e uma anti-simétrica, usando A = C - C^t2 (matriz anti-simétrica) e S + A = C + C^t2 + C - C^t2 = 2C2 = C .
Vamos considerar uma matriz quadrada . Queremos expressar como a soma de uma matriz simétrica e uma anti-simétrica.
Vamos definir:
é
é
Agora, somando e :
Então, , onde é simétrica ( ) e é anti-simétrica ( ). Assim, toda matriz quadrada pode ser decomposta dessa forma.

Passo 4

Parte ©: Ilustrar a propriedade para a matriz 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9.
Vamos aplicar o que fizemos na parte (b) para essa matriz específica.
Primeiro, calculamos a transposta de C^t = 1 & 4 & 7 2 & 5 & 8 3 & 6 & 9 :
S = C + C^t2 = 12 1+1 & 2+4 & 3+7 4+2 & 5+5 & 6+8 7+3 & 8+6 & 9+9 = 12 2 & 6 & 10 6 & 10 & 14 10 & 14 & 18 = 1 & 3 & 5 3 & 5 & 7 5 & 7 & 9
Agora, calculamos A = C - C^t2 = 12 1-1 & 2-4 & 3-7 4-2 & 5-5 & 6-8 7-3 & 8-6 & 9-9 = 12 0 & -2 & -4 2 & 0 & -2 4 & 2 & 0 = 0 & -1 & -2 1 & 0 & -1 2 & 1 & 0 e S^t = 1 & 3 & 5 3 & 5 & 7 5 & 7 & 9 = S :
A^t = 0 & 1 & 2 -1 & 0 & 1 -2 & -1 & 0 = -A
S + A = 1 & 3 & 5 3 & 5 & 7 5 & 7 & 9 + 0 & -1 & -2 1 & 0 & -1 2 & 1 & 0 = 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 = C
Vamos verificar se é simétrica e é anti-simétrica:
Para :
Então, é simétrica.
Para :
Então, é anti-simétrica.
Finalmente, somando e :
Isso confirma que é a soma de uma matriz simétrica e uma anti-simétrica.

Resposta

Mostramos que é anti-simétrica para matrizes quadradas, que toda matriz quadrada pode ser decomposta em uma matriz simétrica e uma anti-simétrica, e ilustramos isso com o exemplo dado.⁠ Assim, todas as partes do exercício estão resolvidas conforme solicitado.

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