Seja uma matriz quadrada. Mostre que:
(a) é anti-simétrica. Que podemos dizer se não for uma matriz quadrada?
(b) Toda matriz quadrada é a soma de uma matriz simétrica e uma anti-simétrica. Sugestão: Use as matrizes e .
© Ilustre a propriedade © para a matriz .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício sobre matrizes quadradas! A gente tem três partes para resolver, todas envolvendo conceitos de matrizes simétricas e anti-simétricas. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser transposta, simétrica e anti-simétrica, além de como somar matrizes. Vamos lá!

Passo 2

Parte (a): Mostrar que é anti-simétrica e analisar o caso de não ser quadrada.
Primeiro, vamos lembrar que a transposta de uma matriz , denotada por , é obtida trocando as linhas pelas colunas. Uma matriz é chamada de anti-simétrica se ela satisfaz .
Vamos calcular a transposta de :
Então, , o que significa que é anti-simétrica.
Agora, se não for uma matriz quadrada, então tem dimensões diferentes de , tornando a subtração impossível ou sem sentido matematicamente. Portanto, essa propriedade só vale para matrizes quadradas.

Passo 3

Parte (b): Mostrar que toda matriz quadrada é a soma de uma matriz simétrica e uma anti-simétrica, usando e .
Vamos considerar uma matriz quadrada . Queremos expressar como a soma de uma matriz simétrica e uma anti-simétrica.
Vamos definir:
é
é
Agora, somando e :
Então, , onde é simétrica ( ) e é anti-simétrica ( ). Assim, toda matriz quadrada pode ser decomposta dessa forma.

Passo 4

Parte ©: Ilustrar a propriedade para a matriz .
Vamos aplicar o que fizemos na parte (b) para essa matriz específica.
Primeiro, calculamos a transposta de :
Agora, calculamos e :
Vamos verificar se é simétrica e é anti-simétrica:
Para :
Então, é simétrica.
Para :
Então, é anti-simétrica.
Finalmente, somando e :
Isso confirma que é a soma de uma matriz simétrica e uma anti-simétrica.

Resposta

Mostramos que é anti-simétrica para matrizes quadradas, que toda matriz quadrada pode ser decomposta em uma matriz simétrica e uma anti-simétrica, e ilustramos isso com o exemplo dado.⁠ Assim, todas as partes do exercício estão resolvidas conforme solicitado.

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