Qual o volume do cubo determinado pelos vetores
e
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o volume de um cubo que é definido pelos vetores
,
e
. Isso está ligado ao conteúdo de geometria vetorial, especialmente quando tratamos de volumes formados por vetores no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar usar o produto escalar triplo, que nos ajuda a calcular o volume de um paralelepípedo formado por três vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o volume de um cubo (ou paralelepípedo) formado por três vetores
,
e
é dado pelo produto escalar triplo desses vetores. A fórmula é:
Aqui,
é o produto vetorial entre
e
, que resulta em um vetor perpendicular aos dois, e depois fazemos o produto escalar desse resultado com
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa fórmula aos nossos vetores
,
e
. Esses são os vetores unitários nos eixos x, y e z, respectivamente. Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calculamos o produto vetorial
:
Agora, fazemos o produto escalar desse resultado com
:
O módulo desse valor é simplesmente 1.
Resposta
O volume do cubo determinado pelos vetores
,
e
é 1 unidade cúbica.
Exercícios relacionados
Se
e
, determinar
Determinar o ângulo entre os vetores:
e
(2,0) Dada a base
e a base canônica
de
, determine:
a) A matriz de mudança de base de para a base
.
a) A matriz de mudança de base de
(2,0) Dada a base
e a base canônica
de
, determine:
c) .
c)