Qual o volume do cubo determinado pelos vetores e ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o volume de um cubo que é definido pelos vetores , e . Isso está ligado ao conteúdo de geometria vetorial, especialmente quando tratamos de volumes formados por vetores no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar usar o produto escalar triplo, que nos ajuda a calcular o volume de um paralelepípedo formado por três vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o volume de um cubo (ou paralelepípedo) formado por três vetores , e é dado pelo produto escalar triplo desses vetores. A fórmula é:
Aqui, é o produto vetorial entre e , que resulta em um vetor perpendicular aos dois, e depois fazemos o produto escalar desse resultado com .

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula aos nossos vetores , e . Esses são os vetores unitários nos eixos x, y e z, respectivamente. Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calculamos o produto vetorial :
Agora, fazemos o produto escalar desse resultado com :
O módulo desse valor é simplesmente 1.

Resposta

O volume do cubo determinado pelos vetores , e é 1 unidade cúbica.

Exercícios relacionados

Se e , determinar
Determinar o ângulo entre os vetores:
e
(2,0) Dada a base e a base canônica de , determine:
a) A matriz de mudança de base de para a base .
(2,0) Dada a base e a base canônica de , determine:
c) .