Dada a base beta=v1=(l1 0 0), v2=(c-1 3 2), v3=(l4 2 3) de R^3, e dada a matriz A que tem entradas
A=(ccc 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 -1 & -1 & -1 )
quando escrita na base canônica de R^3, calcule e escreva a matriz A em relação à base beta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma base v1 = 1 0 0, v2 = -1 3 2, v3 = 4 2 3 que consiste nos vetores
A = 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 -1 & -1 & -1
em , e uma matriz escrita na base canônica:
O que precisamos fazer é encontrar a representação da matriz na base , ou seja, encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa mudar a base de uma matriz. Quando temos uma matriz na base canônica e queremos expressá-la em outra base , precisamos usar a matriz de mudança de base. Isso envolve duas coisas principais:
  1. Matriz de mudança de base ( ): Essa matriz tem como colunas os vetores da base expressos na base canônica.
  2. Inversa da matriz de mudança de base ( ): Necessária para realizar a transformação inversa.

Passo 3

Vamos construir a matriz P = 1 & -1 & 4 0 & 3 & 2 0 & 2 & 3 . Como a base está dada na base canônica, apenas colocamos os vetores como colunas:

Passo 4

Agora, precisamos calcular a inversa de det(P) = 1 cdot (3 cdot 3 - 2 cdot 2) - (-1) cdot (0 cdot 3 - 2 cdot 0) + 4 cdot (0 cdot 2 - 3 cdot 0) = 1 cdot (9 - 4) + 1 cdot 0 + 4 cdot 0 = 5 , ou seja, adj(P) = (3 cdot 3 - 2 cdot 2) & - ( -1 cdot 3 - 4 cdot 2) & ( -1 cdot 2 - 3 cdot 4) - (0 cdot 3 - 2 cdot 0) & (1 cdot 3 - 4 cdot 0) & - (1 cdot 2 - (-1) cdot 0) (0 cdot 2 - 3 cdot 0) & - (1 cdot 2 - (-1) cdot 0) & (1 cdot 3 - (-1) cdot 0) = 5 & 11 & -14 0 & 3 & -2 0 & -2 & 3 . Vamos fazer isso passo a passo.
Primeiro, encontramos o determinante de P^-1 = 1det(P) cdot adj(P) = 15 5 & 11 & -14 0 & 3 & -2 0 & -2 & 3 = 1 & 115 & -145 0 & 35 & -25 0 & -25 & 35 :
Como o determinante é diferente de zero ( ), a matriz é invertível.
Agora, vamos encontrar a matriz adjunta de :
Então,

Passo 5

Agora que temos [A]beta = P^-1 cdot A cdot P e A cdot P = 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 -1 & -1 & -1 cdot 1 & -1 & 4 0 & 3 & 2 0 & 2 & 3 = 1 cdot 1 + 1 cdot 0 + 1 cdot 0 & 1 cdot (-1) + 1 cdot 3 + 1 cdot 2 & 1 cdot 4 + 1 cdot 2 + 1 cdot 3 1 cdot 1 + 1 cdot 0 + 1 cdot 0 & 1 cdot (-1) + 1 cdot 3 + 1 cdot 2 & 1 cdot 4 + 1 cdot 2 + 1 cdot 3 -1 cdot 1 + (-1) cdot 0 + (-1) cdot 0 & -1 cdot (-1) + (-1) cdot 3 + (-1) cdot 2 & -1 cdot 4 + (-1) cdot 2 + (-1) cdot 3 = 1 & 4 & 9 1 & 4 & 9 -1 & -4 & -9 , podemos calcular [A]beta = P^-1 cdot (A cdot P) = 1 & 115 & -145 0 & 35 & -25 0 & -25 & 35 cdot 1 & 4 & 9 1 & 4 & 9 -1 & -4 & -9 usando a fórmula:
(1)(1) + (115)(1) + (-145)(-1) &= 1 + 115 + 145 = 1 + 5 = 6 (1)(4) + (115)(4) + (-145)(-4) &= 4 + 445 + 565 = 4 + 20 = 24 (1)(9) + (115)(9) + (-145)(-9) &= 9 + 995 + 1265 = 9 + 45 = 54
Vamos calcular passo a passo.
Primeiro, calculamos 0 cdot 1 + (35)(1) + (-25)(-1) &= 0 + 35 + 25 = 55 = 1 0 cdot 4 + (35)(4) + (-25)(-4) &= 0 + 125 + 85 = 205 = 4 0 cdot 9 + (35)(9) + (-25)(-9) &= 0 + 275 + 185 = 455 = 9 :
0 cdot 1 + (-25)(1) + (35)(-1) &= 0 - 25 - 35 = -55 = -1 0 cdot 4 + (-25)(4) + (35)(-4) &= 0 - 85 - 125 = -205 = -4 0 cdot 9 + (-25)(9) + (35)(-9) &= 0 - 185 - 275 = -455 = -9
Em seguida, multiplicamos [A]beta = 6 & 24 & 54 1 & 4 & 9 -1 & -4 & -9 por :
Vamos calcular cada elemento da matriz resultante:
  • Primeira linha:
  • Segunda linha:
  • Terceira linha:
Então, a matriz fica:

Resposta

A matriz [A]beta = 6 & 24 & 54 1 & 4 & 9 -1 & -4 & -9 em relação à base é

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