Beleza! Vamos resolver o sistema homogêneo . Isso significa que estamos procurando todos os vetores que, quando multiplicados pela matriz , dão o vetor zero. Para resolver isso, vamos usar métodos de álgebra linear, como eliminação de Gauss, para simplificar a matriz e encontrar as soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema, que inclui a matriz (cccccc|c 1 & -2 & 3 & -4 & 5 & 0 & 0 10 & 3 & -2 & 1 & 4 & -1 & 0 -1 & 0 & -1 & -2 & -1 & 4 & 0 -2 & 2 & 3 & 5 & 7 & 8 & 0 ) e o vetor zero. A matriz aumentada fica assim:
Passo 3
Vamos começar a simplificar a matriz usando a eliminação de Gauss. Nosso objetivo é obter uma forma escalonada, onde conseguimos identificar quais variáveis são livres e quais são básicas.
Primeiro, usamos a primeira linha para eliminar os elementos abaixo do primeiro elemento (1) na primeira coluna:
Agora, focamos na terceira coluna. Queremos que o terceiro elemento da terceira linha seja 1. Para isso, multiplicamos a terceira linha por Linha 3 = -2312 times Linha 3 :
Com o terceiro elemento da terceira linha sendo 1, usamos essa linha para eliminar os outros elementos na coluna 3:
Linha 1: (cccccc|c 1 & 0 & 0 & 1823 + 14 times 2923 times 12 & 1 & -223 + 14 times 8123 times 12 & 0 0 & 1 & 0 & 4123 - 32 times 2923 times 12 & -2 & -123 + 32 times 8123 times 12 & 0 0 & 0 & 1 & -2912 & 0 & -8112 & 0 0 & 0 & 0 & 3523 + 34 times 2923 times 12 & 13 & 4623 + 34 times 8123 times 12 & 0 )
Linha 2:
Linha 4:
Após essas operações, a matriz fica:
Passo 8
Simplificamos as operações acima para obter a forma final da matriz. Após simplificar, identificamos que há colunas sem pivôs, o que indica variáveis livres. As variáveis correspondentes a essas colunas podem assumir qualquer valor.
Passo 9
Finalmente, expressamos as variáveis básicas em função das variáveis livres. Vamos definir as variáveis livres como parâmetros e escrever a solução geral do sistema. Supondo que as variáveis sejam livres, a solução será uma combinação linear dessas variáveis.
Resposta
A solução geral do sistema homogêneo x = x4 -1823 4123 2912 1 0 0 + x5 -1 2 0 0 1 0 + x6 223 123 8112 0 0 1 é dada por:
Onde são parâmetros livres que podem assumir quaisquer valores reais.