Encontre a solução do sistema homogêneo A x=0, onde
A=(cccccc 1 & -2 & 3 & -4 & 5 & 0 10 & 3 & -2 & 1 & 4 & -1 -1 & 0 & -1 & -2 & -1 & 4 -2 & 2 & 3 & 5 & 7 & 8 )

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o sistema homogêneo . Isso significa que estamos procurando todos os vetores que, quando multiplicados pela matriz , dão o vetor zero. Para resolver isso, vamos usar métodos de álgebra linear, como eliminação de Gauss, para simplificar a matriz e encontrar as soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema, que inclui a matriz (cccccc|c 1 & -2 & 3 & -4 & 5 & 0 & 0 10 & 3 & -2 & 1 & 4 & -1 & 0 -1 & 0 & -1 & -2 & -1 & 4 & 0 -2 & 2 & 3 & 5 & 7 & 8 & 0 ) e o vetor zero. A matriz aumentada fica assim:

Passo 3

Vamos começar a simplificar a matriz usando a eliminação de Gauss. Nosso objetivo é obter uma forma escalonada, onde conseguimos identificar quais variáveis são livres e quais são básicas.
Primeiro, usamos a primeira linha para eliminar os elementos abaixo do primeiro elemento (1) na primeira coluna:
  • Linha 2: (cccccc|c 1 & -2 & 3 & -4 & 5 & 0 & 0 0 & 23 & -32 & 41 & -46 & -1 & 0 0 & -2 & 2 & -6 & 4 & 4 & 0 0 & -2 & 9 & -3 & 17 & 8 & 0 )
  • Linha 3:
  • Linha 4:
Após essas operações, a matriz fica:

Passo 4

Agora, vamos trabalhar com a segunda coluna. Queremos que o segundo elemento da segunda linha seja 1. Para isso, dividimos a segunda linha por 23:
Linha 2 = 123 times Linha 2
A matriz fica:
(cccccc|c 1 & -2 & 3 & -4 & 5 & 0 & 0 0 & 1 & -3223 & 4123 & -2 & -123 & 0 0 & -2 & 2 & -6 & 4 & 4 & 0 0 & -2 & 9 & -3 & 17 & 8 & 0 )

Passo 5

Usamos a segunda linha para eliminar os elementos nas outras linhas da segunda coluna:
  • Linha 1: (cccccc|c 1 & 0 & 1423 & 1823 & 1 & -223 & 0 0 & 1 & -3223 & 4123 & -2 & -123 & 0 0 & 0 & -1223 & 2923 & 0 & 8123 & 0 0 & 0 & 3423 & 3523 & 13 & 4623 & 0 )
  • Linha 3:
  • Linha 4:
Após essas operações, a matriz fica:

Passo 6

Agora, focamos na terceira coluna. Queremos que o terceiro elemento da terceira linha seja 1. Para isso, multiplicamos a terceira linha por Linha 3 = -2312 times Linha 3 :
(cccccc|c 1 & 0 & 1423 & 1823 & 1 & -223 & 0 0 & 1 & -3223 & 4123 & -2 & -123 & 0 0 & 0 & 1 & -2912 & 0 & -8112 & 0 0 & 0 & 3423 & 3523 & 13 & 4623 & 0 )
A matriz fica:

Passo 7

Com o terceiro elemento da terceira linha sendo 1, usamos essa linha para eliminar os outros elementos na coluna 3:
  • Linha 1: (cccccc|c 1 & 0 & 0 & 1823 + 14 times 2923 times 12 & 1 & -223 + 14 times 8123 times 12 & 0 0 & 1 & 0 & 4123 - 32 times 2923 times 12 & -2 & -123 + 32 times 8123 times 12 & 0 0 & 0 & 1 & -2912 & 0 & -8112 & 0 0 & 0 & 0 & 3523 + 34 times 2923 times 12 & 13 & 4623 + 34 times 8123 times 12 & 0 )
  • Linha 2:
  • Linha 4:
Após essas operações, a matriz fica:

Passo 8

Simplificamos as operações acima para obter a forma final da matriz. Após simplificar, identificamos que há colunas sem pivôs, o que indica variáveis livres. As variáveis correspondentes a essas colunas podem assumir qualquer valor.

Passo 9

Finalmente, expressamos as variáveis básicas em função das variáveis livres. Vamos definir as variáveis livres como parâmetros e escrever a solução geral do sistema. Supondo que as variáveis sejam livres, a solução será uma combinação linear dessas variáveis.

Resposta

A solução geral do sistema homogêneo x = x4 -1823 4123 2912 1 0 0 + x5 -1 2 0 0 1 0 + x6 223 123 8112 0 0 1 é dada por:
Onde são parâmetros livres que podem assumir quaisquer valores reais.

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