Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaço vetorial.
e)
.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente os critérios para um conjunto ser um subespaço. Precisamos verificar três coisas: se o conjunto não está vazio, se é fechado para adição de vetores e se é fechado para multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se
não está vazio. Um jeito fácil de fazer isso é verificar se o vetor zero pertence a
. O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele satisfaz a condição
:
Como a equação é verdadeira, o vetor zero está em
. Então,
não está vazio.
Passo 3
Agora, vamos ver se
é fechado para a adição de vetores. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer em
e somarmos, o vetor resultante também deve estar em
.
Vamos considerar dois vetores
e
em
. Isso significa que:
Vamos somar esses vetores:
Agora, precisamos verificar se
:
Sabemos que
e
, então:
Esse resultado nem sempre será zero a menos que
, o que não é garantido para todos os vetores em
. Portanto,
não é fechado para adição.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado para multiplicação por escalar. Isso significa que, se multiplicarmos qualquer vetor de
por um número real, o vetor resultante também deve estar em
.
Vamos pegar um vetor
em
e um escalar
. Multiplicando
por
, obtemos:
Agora, verificamos a condição:
Como
(porque
está em
):
Portanto, a condição é satisfeita e
é fechado para multiplicação por escalar.
Resposta
Apesar de
conter o vetor zero e ser fechado para multiplicação por escalar, ele não é fechado para adição de vetores. Por isso, o conjunto
não é um subespaço vetorial.