Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial.
e) W=(x, y, z) in R^3 mid x cdot y=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se o conjunto é um subespaço vetorial. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente os critérios para um conjunto ser um subespaço. Precisamos verificar três coisas: se o conjunto não está vazio, se é fechado para adição de vetores e se é fechado para multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se 0 cdot 0 = 0 não está vazio. Um jeito fácil de fazer isso é verificar se o vetor zero pertence a . O vetor zero em é . Vamos ver se ele satisfaz a condição :
Como a equação é verdadeira, o vetor zero está em . Então, não está vazio.

Passo 3

Agora, vamos ver se x1 cdot y1 = 0 e x2 cdot y2 = 0 é fechado para a adição de vetores. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer em u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) e somarmos, o vetor resultante também deve estar em (x1 + x2)(y1 + y2) = x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + x2 y2 .
Vamos considerar dois vetores 0 + x1 y2 + x2 y1 + 0 = x1 y2 + x2 y1 e em . Isso significa que:
Vamos somar esses vetores:
Agora, precisamos verificar se :
Sabemos que e , então:
Esse resultado nem sempre será zero a menos que , o que não é garantido para todos os vetores em . Portanto, não é fechado para adição.

Passo 4

Por último, vamos verificar se c cdot u = (c x, c y, c z) é fechado para multiplicação por escalar. Isso significa que, se multiplicarmos qualquer vetor de (c x) cdot (c y) = c^2 cdot (x y) por um número real, o vetor resultante também deve estar em c^2 cdot 0 = 0 .
Vamos pegar um vetor em e um escalar . Multiplicando por , obtemos:
Agora, verificamos a condição:
Como (porque está em ):
Portanto, a condição é satisfeita e é fechado para multiplicação por escalar.

Resposta

Apesar de conter o vetor zero e ser fechado para multiplicação por escalar, ele não é fechado para adição de vetores. Por isso, o conjunto não é um subespaço vetorial.

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