Determine a Equação Vetorial da Reta s que contém o Ponto P(2,6,1) e é perpendicular simultaneamente à Reta r:(x, y, z)=(3,-1,2)+lambdalang<= 1,1,3rang<= e à Reta t:(x, y, z)= (4,3,3)+mulang<= 2,-1,3rang<= x Y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a Equação Vetorial de uma reta que passa pelo ponto e que é perpendicular, ao mesmo tempo, às retas e que foram dadas. Para isso, vamos usar conceitos de vetores e perpendicularidade. O que vamos precisar saber é como encontrar um vetor que seja perpendicular a dois outros vetores, e para isso vamos utilizar o produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores de direção das retas dr = lang<= 1, 1, 3 rang<= e dt = lang<= 2, -1, 3 rang<= . A equação vetorial de uma reta tem a forma , onde é o vetor de direção.
  • Para a reta :
  • Para a reta :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar um vetor de direção ds = dr times dt = i & j & k 1 & 1 & 3 2 & -1 & 3 para a reta ds = i(1 cdot 3 - 3 cdot (-1)) - j(1 cdot 3 - 3 cdot 2) + k(1 cdot (-1) - 1 cdot 2) que seja perpendicular tanto a ds = i(3 + 3) - j(3 - 6) + k(-1 - 2) quanto a ds = 6,i + 3,j - 3,k . Para isso, usamos o produto vetorial entre ds = lang<= 6, 3, -3 rang<= e ds = lang<= 2, 1, -1 rang<= , já que o produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor que é perpendicular aos dois vetores originais.
Vamos calcular o produto vetorial:
Resolvendo o determinante:
Podemos simplificar esse vetor dividindo por 3:

Passo 4

Agora que temos o vetor de direção s = P + lambda ds e sabemos que a reta s = lang<= 2, 6, 1 rang<= + lambda lang<= 2, 1, -1 rang<= passa pelo ponto , podemos escrever a Equação Vetorial da reta .
A fórmula geral é:
Substituindo os valores:

Resposta

A Equação Vetorial da reta s = lang<= 2, 6, 1 rang<= + lambda lang<= 2, 1, -1 rang<= é:

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