Dada a base de . Obter a partir de uma base ortonormal .

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem um exercício de álgebra linear aqui. O enunciado diz que temos uma base chamada no espaço . A tarefa é transformar essa base em uma base ortonormal, que vamos chamar de . Para isso, vamos usar o processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt e depois normalizar os vetores. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos pegar o primeiro vetor da base , que é . O objetivo aqui é transformar esse vetor em um vetor unitário, ou seja, com comprimento 1. Para fazer isso, precisamos calcular o comprimento (ou norma) do vetor.
A fórmula para a norma de um vetor é:
Aplicando isso ao nosso vetor:
Então, o vetor unitário correspondente é:

Passo 3

Agora, vamos passar para o segundo vetor da base , que é . Precisamos primeiro tornar esse vetor ortogonal ao primeiro vetor unitário . Para isso, calculamos a projeção de sobre e subtraímos essa projeção de .
A projeção de em é dada por:
Calculando o produto escalar:
Como é unitário, . Então:
Agora, subtraímos essa projeção de para obter um vetor ortogonal a :

Passo 4

Agora que temos o vetor ortogonal a , vamos normalizá-lo para obter o segundo vetor unitário .
Calculamos a norma de :
Então, o vetor unitário é:

Resposta

A base ortonormal obtida a partir de é:

Exercícios relacionados

Seja .
Obtenha uma base ortonormal de a partir de .
Seja .
Mostre que é uma base ortogonal.
Determine os valores reais da constante de forma que o sistema linear abaixo, nas variáveis , e seja compatível indeterminado. Em seguida escreva o conjunto solução.
Sejam os vetores e em :
Para que valores de o vetor se escreve como combinação linear de e ?