Dada a base
de
. Obter a partir de
uma base ortonormal
.
Passo 1
Beleza, galera! A gente tem um exercício de álgebra linear aqui. O enunciado diz que temos uma base chamada
no espaço
. A tarefa é transformar essa base em uma base ortonormal, que vamos chamar de
. Para isso, vamos usar o processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt e depois normalizar os vetores. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos pegar o primeiro vetor da base
, que é
. O objetivo aqui é transformar esse vetor em um vetor unitário, ou seja, com comprimento 1. Para fazer isso, precisamos calcular o comprimento (ou norma) do vetor.
A fórmula para a norma de um vetor
é:
Aplicando isso ao nosso vetor:
Então, o vetor unitário correspondente é:
Passo 3
Agora, vamos passar para o segundo vetor da base
, que é
. Precisamos primeiro tornar esse vetor ortogonal ao primeiro vetor unitário
. Para isso, calculamos a projeção de
sobre
e subtraímos essa projeção de
.
A projeção de
em
é dada por:
Calculando o produto escalar:
Como
é unitário,
. Então:
Agora, subtraímos essa projeção de
para obter um vetor ortogonal a
:
Passo 4
Agora que temos o vetor
ortogonal a
, vamos normalizá-lo para obter o segundo vetor unitário
.
Calculamos a norma de
:
Então, o vetor unitário
é:
Resposta
A base ortonormal
obtida a partir de
é: