Dada a base de . Obter a partir de uma base ortonormal .
Passo 1
Beleza, galera! A gente tem um exercício de álgebra linear aqui. O enunciado diz que temos uma base chamada no espaço . A tarefa é transformar essa base em uma base ortonormal, que vamos chamar de . Para isso, vamos usar o processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt e depois normalizar os vetores. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos pegar o primeiro vetor da base , que é . O objetivo aqui é transformar esse vetor em um vetor unitário, ou seja, com comprimento 1. Para fazer isso, precisamos calcular o comprimento (ou norma) do vetor.
A fórmula para a norma de um vetor é:
Aplicando isso ao nosso vetor:
Então, o vetor unitário correspondente é:
Passo 3
Agora, vamos passar para o segundo vetor da base , que é . Precisamos primeiro tornar esse vetor ortogonal ao primeiro vetor unitário . Para isso, calculamos a projeção de sobre e subtraímos essa projeção de .
A projeção de em é dada por:
Calculando o produto escalar:
Como é unitário, . Então:
Agora, subtraímos essa projeção de para obter um vetor ortogonal a :
Passo 4
Agora que temos o vetor ortogonal a , vamos normalizá-lo para obter o segundo vetor unitário .