Dada a base gamma=(3,4),(1,2) de R^2. Obter a partir de gamma uma base ortonormal beta.

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem um exercício de álgebra linear aqui. O enunciado diz que temos uma base chamada gamma = (3,4), (1,2) no espaço R^2. A tarefa é transformar essa base em uma base ortonormal, que vamos chamar de beta. Para isso, vamos usar o processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt e depois normalizar os vetores. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos pegar o primeiro vetor da base gamma, que é (3,4). O objetivo aqui é transformar esse vetor em um vetor unitário, ou seja, com comprimento 1. Para fazer isso, precisamos calcular o comprimento (ou norma) do vetor.
A fórmula para a norma de um vetor (a,b) é:
|v| = raiza^2 + b^2
Aplicando isso ao nosso vetor:
|v1| = raiz3^2 + 4^2 = raiz9 + 16 = raiz25 = 5
Então, o vetor unitário correspondente é:
e1 = v1|v1| = (35, 45)

Passo 3

Agora, vamos passar para o segundo vetor da base gamma, que é (1,2). Precisamos primeiro tornar esse vetor ortogonal ao primeiro vetor unitário e1. Para isso, calculamos a projeção de v2 sobre e1 e subtraímos essa projeção de v2.
A projeção de v2 em e1 é dada por:
proje1 v2 = ( v2 cdot e1e1 cdot e1 ) e1
Calculando o produto escalar:
v2 cdot e1 = 1 times 35 + 2 times 45 = 35 + 85 = 115
Como e1 é unitário, e1 cdot e1 = 1. Então:
proje1 v2 = 115 times (35, 45) = (3325, 4425)
Agora, subtraímos essa projeção de v2 para obter um vetor ortogonal a e1:
u2 = v2 - proje1 v2 = (1 - 3325, 2 - 4425) = (25 - 3325, 50 - 4425) = (-825, 625)

Passo 4

Agora que temos o vetor u2 ortogonal a e1, vamos normalizá-lo para obter o segundo vetor unitário e2.
Calculamos a norma de u2:
|u2| = raiz(-825)^2 + (625)^2 = raiz64625 + 36625 = raiz100625 = 1025 = 25
Então, o vetor unitário e2 é:
e2 = u2|u2| = (-82525, 62525) = (-810, 610) = (-45, 35)

Resposta

A base ortonormal beta obtida a partir de gamma = (3,4), (1,2) é:
beta = (35, 45), (-45, 35)

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