Seja .
Mostre que é uma base ortogonal.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para mostrar que o conjunto é uma base ortogonal. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre bases e ortogonalidade. Precisaremos verificar se os vetores do conjunto são mutuamente ortogonais e se formam uma base, ou seja, se são linearmente independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que dois vetores são ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto interno (ou produto escalar) entre eles for zero. O produto escalar entre dois vetores e é dado por:
Vamos calcular o produto escalar entre cada par de vetores em .

Passo 3

Calculando o produto escalar entre o primeiro e o segundo vetor:
Como o resultado foi zero, esses dois vetores são ortogonais.

Passo 4

Agora, calculando o produto escalar entre o primeiro e o terceiro vetor:
Também obtemos zero, então o primeiro e o terceiro vetores são ortogonais.

Passo 5

Por fim, calculando o produto escalar entre o segundo e o terceiro vetor:
Mais uma vez, o resultado é zero, indicando que o segundo e o terceiro vetores são ortogonais.

Passo 6

Como todos os pares de vetores em são ortogonais entre si, o conjunto é composto por vetores mutuamente ortogonais. Além disso, como temos três vetores em um espaço tridimensional e eles são ortogonais, eles são automaticamente linearmente independentes e, portanto, formam uma base.

Resposta

Portanto, o conjunto é uma base ortogonal.

Exercícios relacionados

Verifique se é gerado por .
Sejam os vetores e em :
O vetor pode ser escrito como combinação linear de e ? Justifique.
Seja .
Obtenha uma base ortonormal de a partir de .
Dada a base de . Obter a partir de uma base ortonormal .