Seja
.
Mostre que
é uma base ortogonal.
Mostre que
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para mostrar que o conjunto
é uma base ortogonal. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre bases e ortogonalidade. Precisaremos verificar se os vetores do conjunto são mutuamente ortogonais e se formam uma base, ou seja, se são linearmente independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que dois vetores são ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto interno (ou produto escalar) entre eles for zero. O produto escalar entre dois vetores
e
é dado por:
Vamos calcular o produto escalar entre cada par de vetores em
.
Passo 3
Calculando o produto escalar entre o primeiro e o segundo vetor:
Como o resultado foi zero, esses dois vetores são ortogonais.
Passo 4
Agora, calculando o produto escalar entre o primeiro e o terceiro vetor:
Também obtemos zero, então o primeiro e o terceiro vetores são ortogonais.
Passo 5
Por fim, calculando o produto escalar entre o segundo e o terceiro vetor:
Mais uma vez, o resultado é zero, indicando que o segundo e o terceiro vetores são ortogonais.
Passo 6
Como todos os pares de vetores em
são ortogonais entre si, o conjunto
é composto por vetores mutuamente ortogonais. Além disso, como temos três vetores em um espaço tridimensional e eles são ortogonais, eles são automaticamente linearmente independentes e, portanto, formam uma base.
Resposta
Portanto, o conjunto
é uma base ortogonal.
Exercícios relacionados
Verifique se
é gerado por
.
Sejam os vetores
e
em
:
O vetor pode ser escrito como combinação linear de
e
? Justifique.
O vetor
Seja
.
Obtenha uma base ortonormal de a partir de
.
Obtenha uma base ortonormal de
Dada a base
de
. Obter a partir de
uma base ortonormal
.