Seja C=(1,1,1),(1,0,-1),(1,-2,1).
Mostre que C é uma base ortogonal.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para mostrar que o conjunto C = (1,1,1), (1,0,-1), (1,-2,1) é uma base ortogonal. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre bases e ortogonalidade. Precisaremos verificar se os vetores do conjunto são mutuamente ortogonais e se formam uma base, ou seja, se são linearmente independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que dois vetores são ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto interno (ou produto escalar) entre eles for zero. O produto escalar entre dois vetores u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3) é dado por:
u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3
Vamos calcular o produto escalar entre cada par de vetores em C.

Passo 3

Calculando o produto escalar entre o primeiro e o segundo vetor:
(1,1,1) cdot (1,0,-1) = 1 times 1 + 1 times 0 + 1 times (-1) = 1 + 0 - 1 = 0
Como o resultado foi zero, esses dois vetores são ortogonais.

Passo 4

Agora, calculando o produto escalar entre o primeiro e o terceiro vetor:
(1,1,1) cdot (1,-2,1) = 1 times 1 + 1 times (-2) + 1 times 1 = 1 - 2 + 1 = 0
Também obtemos zero, então o primeiro e o terceiro vetores são ortogonais.

Passo 5

Por fim, calculando o produto escalar entre o segundo e o terceiro vetor:
(1,0,-1) cdot (1,-2,1) = 1 times 1 + 0 times (-2) + (-1) times 1 = 1 + 0 -1 = 0
Mais uma vez, o resultado é zero, indicando que o segundo e o terceiro vetores são ortogonais.

Passo 6

Como todos os pares de vetores em C são ortogonais entre si, o conjunto C é composto por vetores mutuamente ortogonais. Além disso, como temos três vetores em um espaço tridimensional e eles são ortogonais, eles são automaticamente linearmente independentes e, portanto, formam uma base.

Resposta

Portanto, o conjunto C = (1,1,1), (1,0,-1), (1,-2,1) é uma base ortogonal.

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