Determine os valores reais da constante k de forma que o sistema linear abaixo, nas variáveis x, y e z seja compatível indeterminado. Em seguida escreva o conjunto solução.
r x-y+z=0 3 x+2 y-12 z=0 2 x-3 y+k z=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações com três variáveis: , e . O objetivo aqui é encontrar os valores reais da constante que deixam esse sistema “compatível indeterminado”, ou seja, que tenham infinitas soluções. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre sistemas lineares e como determinar se são compatíveis e indeterminados usando matrizes e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações:
x - y + z = 0 3x + 2y - 12z = 0 2x - 3y + kz = 0
Analisando, vemos que esse é um sistema linear com três equações e três incógnitas. Queremos que ele não tenha uma solução única, mas sim infinitas soluções.

Passo 3

Para que o sistema tenha infinitas soluções, o determinante da matriz dos coeficientes precisa ser igual a zero. Vamos montar essa matriz:
A = 1 & -1 & 1 3 & 2 & -12 2 & -3 & k
O determinante de det(A) = 0 , , deve ser igual a zero:

Passo 4

Vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = 1 cdot (2 cdot k - (-12) cdot (-3)) - (-1) cdot (3 cdot k - (-12) cdot 2) + 1 cdot (3 cdot (-3) - 2 cdot 2) :
det(A) = 1 cdot (2k - 36) + 1 cdot (3k + 24) + 1 cdot (-9 - 4)
Simplificando:
det(A) = (2k - 36) + (3k + 24) + (-13)
det(A) = 5k - 25

Passo 5

Agora, igualamos o determinante a zero para encontrar o valor de 5k - 25 = 0 :
5k = 25
k = 5

Passo 6

Com x - y + z = 0 3x + 2y - 12z = 0 2x - 3y + 5z = 0 , o sistema passa a ser:
Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar o conjunto solução.

Passo 7

Vamos usar o método de substituição ou eliminação. Primeiro, da primeira equação:
x - y + z = 0 Rightarrow x = y - z
Agora, substituímos 3(y - z) + 2y - 12z = 0 Rightarrow 3y - 3z + 2y - 12z = 0 Rightarrow 5y - 15z = 0 Rightarrow y = 3z nas outras equações.
Na segunda equação:
2(y - z) - 3y + 5z = 0 Rightarrow 2y - 2z - 3y + 5z = 0 Rightarrow -y + 3z = 0 Rightarrow y = 3z
Na terceira equação:

Passo 8

Com x = 2t, y = 3t, z = t e , podemos expressar todas as variáveis em função de . Seja , onde é um número real qualquer.
Então:

Passo 9

Portanto, o conjunto solução do sistema é:
, (x, y, z) mid x = 2t, y = 3t, z = t, t in R

Resposta

Os valores reais de , (x, y, z) mid x = 2t, y = 3t, z = t, t in R que tornam o sistema compatível indeterminado são . O conjunto solução é dado por:

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