Determine os valores reais da constante de forma que o sistema linear abaixo, nas variáveis , e seja compatível indeterminado. Em seguida escreva o conjunto solução.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações com três variáveis: , e . O objetivo aqui é encontrar os valores reais da constante que deixam esse sistema “compatível indeterminado”, ou seja, que tenham infinitas soluções. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre sistemas lineares e como determinar se são compatíveis e indeterminados usando matrizes e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações:
Analisando, vemos que esse é um sistema linear com três equações e três incógnitas. Queremos que ele não tenha uma solução única, mas sim infinitas soluções.
Passo 3
Para que o sistema tenha infinitas soluções, o determinante da matriz dos coeficientes precisa ser igual a zero. Vamos montar essa matriz:
O determinante de , , deve ser igual a zero:
Passo 4
Vamos calcular o determinante dessa matriz :
Simplificando:
Passo 5
Agora, igualamos o determinante a zero para encontrar o valor de :
Passo 6
Com , o sistema passa a ser:
Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar o conjunto solução.
Passo 7
Vamos usar o método de substituição ou eliminação. Primeiro, da primeira equação:
Agora, substituímos nas outras equações.
Na segunda equação:
Na terceira equação:
Passo 8
Com e , podemos expressar todas as variáveis em função de . Seja , onde é um número real qualquer.
Então:
Passo 9
Portanto, o conjunto solução do sistema é:
Resposta
Os valores reais de que tornam o sistema compatível indeterminado são . O conjunto solução é dado por: