Determine os valores reais da constante de forma que o sistema linear abaixo, nas variáveis , e seja compatível indeterminado. Em seguida escreva o conjunto solução.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações com três variáveis: , e . O objetivo aqui é encontrar os valores reais da constante que deixam esse sistema “compatível indeterminado”, ou seja, que tenham infinitas soluções. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre sistemas lineares e como determinar se são compatíveis e indeterminados usando matrizes e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações:
Analisando, vemos que esse é um sistema linear com três equações e três incógnitas. Queremos que ele não tenha uma solução única, mas sim infinitas soluções.

Passo 3

Para que o sistema tenha infinitas soluções, o determinante da matriz dos coeficientes precisa ser igual a zero. Vamos montar essa matriz:
O determinante de , , deve ser igual a zero:

Passo 4

Vamos calcular o determinante dessa matriz :
Simplificando:

Passo 5

Agora, igualamos o determinante a zero para encontrar o valor de :

Passo 6

Com , o sistema passa a ser:
Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar o conjunto solução.

Passo 7

Vamos usar o método de substituição ou eliminação. Primeiro, da primeira equação:
Agora, substituímos nas outras equações.
Na segunda equação:
Na terceira equação:

Passo 8

Com e , podemos expressar todas as variáveis em função de . Seja , onde é um número real qualquer.
Então:

Passo 9

Portanto, o conjunto solução do sistema é:

Resposta

Os valores reais de que tornam o sistema compatível indeterminado são . O conjunto solução é dado por:

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e
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