Determine os valores reais da constante de forma que o sistema linear abaixo, nas variáveis , e seja compatível indeterminado. Em seguida escreva o conjunto solução.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações com três variáveis: , e . O objetivo aqui é encontrar os valores reais da constante que deixam esse sistema “compatível indeterminado”, ou seja, que tenham infinitas soluções. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre sistemas lineares e como determinar se são compatíveis e indeterminados usando matrizes e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações:
x - y + z = 0 3x + 2y - 12z = 0 2x - 3y + kz = 0
Analisando, vemos que esse é um sistema linear com três equações e três incógnitas. Queremos que ele não tenha uma solução única, mas sim infinitas soluções.
Passo 3
Para que o sistema tenha infinitas soluções, o determinante da matriz dos coeficientes precisa ser igual a zero. Vamos montar essa matriz:
A = 1 & -1 & 1 3 & 2 & -12 2 & -3 & k
O determinante de det(A) = 0 , , deve ser igual a zero:
Passo 4
Vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = 1 cdot (2 cdot k - (-12) cdot (-3)) - (-1) cdot (3 cdot k - (-12) cdot 2) + 1 cdot (3 cdot (-3) - 2 cdot 2) :