Sejam os vetores u=(-2,3,2) e v=(1,-2,4) em R^3 :
Para que valores de k o vetor w=(-6,9, k) se escreve como combinação linear de u e v ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos os vetores e em . Queremos descobrir para quais valores de o vetor pode ser escrito como uma combinação linear de e . Ou seja, precisamos encontrar números e tais que . Para resolver isso, vamos montar um sistema de equações baseado nas componentes dos vetores.

Passo 2

Vamos expressar a combinação linear -6 = -2a + b 9 = 3a - 2b k = 2a + 4b componente a componente. Isso nos dá:
Aqui, estamos igualando cada componente de com a combinação linear correspondente das componentes de e .

Passo 3

Primeiro, vamos resolver as duas primeiras equações para encontrar -6 = -2a + b Rightarrow b = -6 + 2a e 9 = 3a - 2(-6 + 2a) 9 = 3a + 12 - 4a 9 = -a + 12 -a = -3 a = 3 .
Da primeira equação:
Agora, substituímos na segunda equação:

Passo 4

Com o valor de b = -6 + 2(3) b = -6 + 6 b = 0 encontrado, substituímos de volta na expressão para :

Passo 5

Agora que temos k = 2(3) + 4(0) k = 6 + 0 k = 6 e , substituímos esses valores na terceira equação para encontrar :

Resposta

O valor de é .

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