Seja .
Obtenha uma base ortonormal de a partir de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A gente tem um conjunto de vetores e precisamos transformar isso numa base ortonormal do espaço . Isso significa que queremos três vetores que sejam todos perpendiculares entre si (ortogonais) e que cada um tenha comprimento 1 (normalizados). Para isso, vamos usar o Processo de Gram-Schmidt, que nos ajuda a pegar vetores quaisquer e transformá-los numa base ortonormal.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no primeiro vetor da nossa lista, que é . Nosso objetivo aqui é transformar esse vetor num vetor unitário. Para isso, precisamos calcular o comprimento (ou norma) desse vetor. A fórmula da norma de um vetor é:
Aplicando isso ao nosso :
Agora, para normalizar, dividimos cada componente do vetor pelo seu comprimento:

Passo 3

Seguimos para o segundo vetor, . A gente precisa primeiramente torná-lo ortogonal ao primeiro vetor unitário . Para isso, usamos a fórmula da projeção:
Calculando o produto interno :
Como o resultado é zero, a projeção é zero, o que significa que já é ortogonal a . Agora, vamos normalizar :
Então, o segundo vetor ortonormal é:

Passo 4

Agora, vamos para o terceiro vetor, . Precisamos torná-lo ortogonal aos dois vetores que já temos, e . Primeiro, calculamos a projeção de sobre e subtraímos isso de :
Calculando :
Então, . Agora, fazemos o mesmo com :
Calculando :
Então, . Como ambas as projeções são zero, já é ortogonal aos dois primeiros vetores. Agora, vamos normalizar :
Portanto, o terceiro vetor ortonormal é:

Resposta

A base ortonormal de obtida a partir de é:

Exercícios relacionados

Seja .
Mostre que é uma base ortogonal.
Verifique se é gerado por .
Dada a base de . Obter a partir de uma base ortonormal .
Determine os valores reais da constante de forma que o sistema linear abaixo, nas variáveis , e seja compatível indeterminado. Em seguida escreva o conjunto solução.