Seja
.
Obtenha uma base ortonormal de
a partir de
.
Obtenha uma base ortonormal de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A gente tem um conjunto de vetores
e precisamos transformar isso numa base ortonormal do espaço
. Isso significa que queremos três vetores que sejam todos perpendiculares entre si (ortogonais) e que cada um tenha comprimento 1 (normalizados). Para isso, vamos usar o Processo de Gram-Schmidt, que nos ajuda a pegar vetores quaisquer e transformá-los numa base ortonormal.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no primeiro vetor da nossa lista, que é
. Nosso objetivo aqui é transformar esse vetor num vetor unitário. Para isso, precisamos calcular o comprimento (ou norma) desse vetor. A fórmula da norma de um vetor
é:
Aplicando isso ao nosso
:
Agora, para normalizar, dividimos cada componente do vetor pelo seu comprimento:
Passo 3
Seguimos para o segundo vetor,
. A gente precisa primeiramente torná-lo ortogonal ao primeiro vetor unitário
. Para isso, usamos a fórmula da projeção:
Calculando o produto interno
:
Como o resultado é zero, a projeção é zero, o que significa que
já é ortogonal a
. Agora, vamos normalizar
:
Então, o segundo vetor ortonormal é:
Passo 4
Agora, vamos para o terceiro vetor,
. Precisamos torná-lo ortogonal aos dois vetores que já temos,
e
. Primeiro, calculamos a projeção de
sobre
e subtraímos isso de
:
Calculando
:
Então,
. Agora, fazemos o mesmo com
:
Calculando
:
Então,
. Como ambas as projeções são zero,
já é ortogonal aos dois primeiros vetores. Agora, vamos normalizar
:
Portanto, o terceiro vetor ortonormal é:
Resposta
A base ortonormal de
obtida a partir de
é:
Exercícios relacionados
Seja
.
Mostre que é uma base ortogonal.
Mostre que
Verifique se
é gerado por
.
Dada a base
de
. Obter a partir de
uma base ortonormal
.
Determine os valores reais da constante
de forma que o sistema linear abaixo, nas variáveis
,
e
seja compatível indeterminado. Em seguida escreva o conjunto solução.