Seja C=(1,1,1),(1,0,-1),(1,-2,1).
Obtenha uma base ortonormal de R^3 a partir de C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A gente tem um conjunto de vetores C=(1,1,1),(1,0,-1),(1,-2,1) e precisamos transformar isso numa base ortonormal do espaço R^3. Isso significa que queremos três vetores que sejam todos perpendiculares entre si (ortogonais) e que cada um tenha comprimento 1 (normalizados). Para isso, vamos usar o Processo de Gram-Schmidt, que nos ajuda a pegar vetores quaisquer e transformá-los numa base ortonormal.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no primeiro vetor da nossa lista, que é v1 = (1,1,1). Nosso objetivo aqui é transformar esse vetor num vetor unitário. Para isso, precisamos calcular o comprimento (ou norma) desse vetor. A fórmula da norma de um vetor v = (v1, v2, v3) é:
|v| = raizv1^2 + v2^2 + v3^2
Aplicando isso ao nosso v1:
|v1| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3
Agora, para normalizar, dividimos cada componente do vetor pelo seu comprimento:
u1 = v1|v1| = (1raiz3, 1raiz3, 1raiz3)

Passo 3

Seguimos para o segundo vetor, v2 = (1,0,-1). A gente precisa primeiramente torná-lo ortogonal ao primeiro vetor unitário u1. Para isso, usamos a fórmula da projeção:
proju1 v2 = ( v2 cdot u1u1 cdot u1 ) u1
Calculando o produto interno v2 cdot u1:
v2 cdot u1 = 1 cdot 1raiz3 + 0 cdot 1raiz3 + (-1) cdot 1raiz3 = 1raiz3 - 1raiz3 = 0
Como o resultado é zero, a projeção é zero, o que significa que v2 já é ortogonal a u1. Agora, vamos normalizar v2:
|v2| = raiz1^2 + 0^2 + (-1)^2 = raiz2
Então, o segundo vetor ortonormal é:
u2 = v2|v2| = (1raiz2, 0, -1raiz2)

Passo 4

Agora, vamos para o terceiro vetor, v3 = (1,-2,1). Precisamos torná-lo ortogonal aos dois vetores que já temos, u1 e u2. Primeiro, calculamos a projeção de v3 sobre u1 e subtraímos isso de v3:
proju1 v3 = ( v3 cdot u1u1 cdot u1 ) u1
Calculando v3 cdot u1:
v3 cdot u1 = 1 cdot 1raiz3 + (-2) cdot 1raiz3 + 1 cdot 1raiz3 = 1 - 2 + 1raiz3 = 0
Então, proju1 v3 = 0. Agora, fazemos o mesmo com u2:
proju2 v3 = ( v3 cdot u2u2 cdot u2 ) u2
Calculando v3 cdot u2:
v3 cdot u2 = 1 cdot 1raiz2 + (-2) cdot 0 + 1 cdot -1raiz2 = 1raiz2 - 1raiz2 = 0
Então, proju2 v3 = 0. Como ambas as projeções são zero, v3 já é ortogonal aos dois primeiros vetores. Agora, vamos normalizar v3:
|v3| = raiz1^2 + (-2)^2 + 1^2 = raiz6
Portanto, o terceiro vetor ortonormal é:
u3 = v3|v3| = (1raiz6, -2raiz6, 1raiz6)

Resposta

A base ortonormal de R^3 obtida a partir de C é:
(1raiz3, 1raiz3, 1raiz3), (1raiz2, 0, -1raiz2), (1raiz6, -2raiz6, 1raiz6)

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