Dada a base ortonormal
, sejam
e
.
(1) Obtenha a projeção ortogonal de
sobre
.
(2) Determine
e
tais que
, sendo
paralelo a
e
ortogonal a
.
(1) Obtenha a projeção ortogonal de
(2) Determine
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, o enunciado nos apresenta uma base ortonormal
e dois vetores:
e
. O conteúdo envolvido aqui são projeções vetoriais e decomposição de vetores em componentes paralelas e ortogonais. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da projeção de um vetor sobre outro e entender como decompor um vetor em partes paralelas e perpendiculares.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a projeção ortogonal de
sobre
. A projeção de
sobre
é dada pela fórmula:
Aqui, “
” representa o produto escalar entre dois vetores.
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar
:
Note que o vetor
não está presente em
, então seu componente é
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Passo 5
Com esses valores, podemos achar a projeção:
Substituindo
:
Passo 6
Agora, vamos para a segunda parte: determinar
e
tais que
, onde
é paralelo a
e
é ortogonal a
.
Sabemos que
é a projeção de
sobre
, então já temos
.
Passo 7
Para encontrar
, usamos a relação
:
Resposta
-
A projeção ortogonal de
sobre é . -
Os vetores
e que satisfazem são:
Exercícios relacionados
Determine as interseções dos planos com os eixos coordenados e represente graficamente:
Sejam
, vetores. Mostre que:
(1)
(2)
(3)
(1)
(2)
(3)
Para
, vetores,
, matriz real
, mostre que
Determine as interseções dos planos com os eixos coordenados e represente graficamente: