Dada a base ortonormal (imath, jmath, k), sejam u=2 imath-2 jmath+k e v=3 imath-6 jmath.
(1) Obtenha a projeção ortogonal de v sobre u.
(2) Determine p e q tais que v=p+q, sendo p paralelo a u e q ortogonal a u.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, o enunciado nos apresenta uma base ortonormal (imath, jmath, k) e dois vetores: u = 2 imath - 2 jmath + k e v = 3 imath - 6 jmath. O conteúdo envolvido aqui são projeções vetoriais e decomposição de vetores em componentes paralelas e ortogonais. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da projeção de um vetor sobre outro e entender como decompor um vetor em partes paralelas e perpendiculares.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a projeção ortogonal de v sobre u. A projeção de v sobre u é dada pela fórmula:
proju v = ( u cdot vu cdot u ) u
Aqui, “ cdot” representa o produto escalar entre dois vetores.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar u cdot v:
u cdot v = (2)(3) + (-2)(-6) + (1)(0) = 6 + 12 + 0 = 18
Note que o vetor k não está presente em v, então seu componente é 0.

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar u cdot u:
u cdot u = (2)^2 + (-2)^2 + (1)^2 = 4 + 4 + 1 = 9

Passo 5

Com esses valores, podemos achar a projeção:
proju v = ( 189 ) u = 2 u
Substituindo u:
2 u = 2(2 imath - 2 jmath + k) = 4 imath - 4 jmath + 2 k

Passo 6

Agora, vamos para a segunda parte: determinar p e q tais que v = p + q, onde p é paralelo a u e q é ortogonal a u.
Sabemos que p é a projeção de v sobre u, então já temos p = proju v = 4 imath - 4 jmath + 2 k.

Passo 7

Para encontrar q, usamos a relação q = v - p:
q = (3 imath - 6 jmath) - (4 imath - 4 jmath + 2 k) = -imath - 2 jmath - 2 k

Resposta

  1. A projeção ortogonal de v sobre u é proju v = 4 imath - 4 jmath + 2 k.
  2. Os vetores p e q que satisfazem v = p + q são:
    p = 4 imath - 4 jmath + 2 k
    q = -imath - 2 jmath - 2 k

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(1) (u wed>= v) bul<=t w=u bul<=t(v wed>= w)
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