Para
, vetores,
, matriz real
, mostre que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! O enunciado pede para mostrar que, dada uma matriz real
e vetores
, a seguinte igualdade é válida:
Vamos precisar entender como multiplicar uma matriz por vetores e como calcular determinantes e produtos mistos de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que multiplicar uma matriz
por um vetor
resulta em uma combinação linear das colunas de
. No nosso caso, cada uma das colunas da nova matriz é uma combinação linear dos vetores
com os coeficientes da matriz
.
Passo 3
Agora, o lado esquerdo da igualdade representa o determinante da matriz formada por essas combinações lineares de
. Ou seja:
Isso é equivalente a calcular o determinante de uma matriz cujo
-ésima coluna é
.
Passo 4
Sabemos que o determinante de um produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes:
Aqui, podemos pensar que a matriz formada pelas combinações lineares dos vetores
é o produto da matriz
pela matriz formada pelos vetores
.
Passo 5
Vamos definir
como a matriz cujas colunas são
:
Então, a matriz formada pelas combinações lineares é
, e seu determinante é:
Passo 6
O lado direito da igualdade que queremos mostrar é
, onde
é o determinante da matriz
. Portanto, concluímos que:
Resposta
Mostramos que:
Exercícios relacionados
Dada a base ortonormal
, sejam
e
.
(1) Obtenha a projeção ortogonal de sobre
.
(2) Determine e
tais que
, sendo
paralelo a
e
ortogonal a
.
(1) Obtenha a projeção ortogonal de
(2) Determine
Determine as interseções dos planos com os eixos coordenados e represente graficamente:
Determine as interseções dos planos com os eixos coordenados e represente graficamente:
Dados os seguintes planos:
:
e
, calcule:
a distância entre eles.
a distância entre eles.