Para u, v, w, vetores, A=(ai j), matriz real 3 times 3, mostre que
[a11 u+a21 v+a31 w, a12 u+a22 v+a32 w, a13 u+a23 v+a33 w]=det A cdot[u, v, w]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! O enunciado pede para mostrar que, dada uma matriz real [a11 u + a21 v + a31 w, a12 u + a22 v + a32 w, a13 u + a23 v + a33 w] = det A cdot [u, v, w] e vetores , a seguinte igualdade é válida:
Vamos precisar entender como multiplicar uma matriz por vetores e como calcular determinantes e produtos mistos de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que multiplicar uma matriz por um vetor resulta em uma combinação linear das colunas de . No nosso caso, cada uma das colunas da nova matriz é uma combinação linear dos vetores com os coeficientes da matriz .

Passo 3

Agora, o lado esquerdo da igualdade representa o determinante da matriz formada por essas combinações lineares de [a11 u + a21 v + a31 w, a12 u + a22 v + a32 w, a13 u + a23 v + a33 w] . Ou seja:
Isso é equivalente a calcular o determinante de uma matriz cujo -ésima coluna é .

Passo 4

Sabemos que o determinante de um produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes:
det(AB) = det A cdot det B
Aqui, podemos pensar que a matriz formada pelas combinações lineares dos vetores é o produto da matriz pela matriz formada pelos vetores .

Passo 5

Vamos definir B = [u, v, w] como a matriz cujas colunas são det(AB) = det A cdot det B :
Então, a matriz formada pelas combinações lineares é , e seu determinante é:

Passo 6

O lado direito da igualdade que queremos mostrar é det(AB) = det A cdot det B implies [a11 u + a21 v + a31 w, a12 u + a22 v + a32 w, a13 u + a23 v + a33 w] = det A cdot [u, v, w] , onde é o determinante da matriz . Portanto, concluímos que:

Resposta

Mostramos que:
[a11 u + a21 v + a31 w, a12 u + a22 v + a32 w, a13 u + a23 v + a33 w] = det A cdot [u, v, w]

Exercícios relacionados

Dada a base ortonormal (imath, jmath, k), sejam u=2 imath-2 jmath+k e v=3 imath-6 jmath.
(1) Obtenha a projeção ortogonal de v sobre u.
(2) Determine p e q tais que v=p+q, sendo p paralelo a u e q ortogonal a u.
Determine as interseções dos planos com os eixos coordenados e represente graficamente:
y+2 z-4=0
Determine as interseções dos planos com os eixos coordenados e represente graficamente:
y+z=5
Dados os seguintes planos: pi : a x+b y-4 z+3=0 e alpha: 3 x+2 y- 2 z+20=0, calcule:
a distância entre eles.