Sejam u, v, w, vetores. Mostre que:
(1) (u wed>= v) bul<=t w=u bul<=t(v wed>= w)
(2) (u wed>= v) wed>= w=(u bul<=t w) v-(v bul<=t w) u
(3) u wed>=(v wed>= w)=-(u bul<=t v) w+(u bul<=t w) v

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar três identidades envolvendo vetores , e . A gente vai trabalhar com produtos vetoriais (representados pelo ) e produtos escalares (representados pelo ). Para resolver isso, vamos usar propriedades básicas desses produtos, como a distributividade e as regras de associação. Vamos resolver cada uma das partes do exercício passo a passo.

Passo 2

Vamos começar com a primeira identidade:
(u wed>= v) bul<=t w = u bul<=t (v wed>= w)
Primeiro, lembra que o produto vetorial (u wed>= v) bul<=t w = u bul<=t (v wed>= w) resulta em um vetor perpendicular a e , e o produto escalar resulta em um número que é o quanto esses vetores estão alinhados.
Agora, o lado esquerdo significa que estamos pegando o vetor resultante de e fazendo o produto escalar com . Isso é conhecido como produto misto, que é igual ao determinante formado por esses três vetores.
Do mesmo jeito, também é um produto misto e, por propriedade do determinante, sabemos que ele é invariante sob a cyclicidade dos vetores. Ou seja:

Passo 3

Agora, vamos para a segunda identidade:
(u wed>= v) wed>= w = (u bul<=t w) v - (v bul<=t w) u
Aqui, estamos fazendo o produto vetorial de (u wed>= v) wed>= w = (u bul<=t w) v - (v bul<=t w) u com . Para resolver isso, usamos a propriedade distributiva do produto vetorial sobre a soma de vetores e a relação entre produto vetorial e produto escalar.
Aplicando a fórmula do produto vetorial, temos:
Isso mostra como o produto vetorial de um produto vetorial com um terceiro vetor pode ser expresso em termos de produtos escalares e combinações lineares dos vetores originais.

Passo 4

Por fim, vamos para a terceira identidade:
u wed>= (v wed>= w) = -(u bul<=t v) w + (u bul<=t w) v
Aqui, temos o produto vetorial de u wed>= (v wed>= w) = -(u bul<=t v) w + (u bul<=t w) v com o produto vetorial de e . Usando a propriedade semelhante à distributiva para o produto vetorial, podemos expandir esse termo.
Aplicando a fórmula, obtemos:
Isso mostra como reorganizar os termos utilizando produtos escalares para expressar o resultado em termos dos vetores originais.

Resposta

Mostramos que todas as três identidades são verdadeiras utilizando as propriedades dos produtos vetorial e escalar. Assim, as igualdades fornecidas no exercício estão comprovadas.

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