Sejam
, vetores. Mostre que:
(1)
(2)
(3)
(1)
(2)
(3)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar três identidades envolvendo vetores
,
e
. A gente vai trabalhar com produtos vetoriais (representados pelo
) e produtos escalares (representados pelo
). Para resolver isso, vamos usar propriedades básicas desses produtos, como a distributividade e as regras de associação. Vamos resolver cada uma das partes do exercício passo a passo.
Passo 2
Vamos começar com a primeira identidade:
Primeiro, lembra que o produto vetorial
resulta em um vetor perpendicular a
e
, e o produto escalar
resulta em um número que é o quanto esses vetores estão alinhados.
Agora, o lado esquerdo
significa que estamos pegando o vetor resultante de
e fazendo o produto escalar com
. Isso é conhecido como produto misto, que é igual ao determinante formado por esses três vetores.
Do mesmo jeito,
também é um produto misto e, por propriedade do determinante, sabemos que ele é invariante sob a cyclicidade dos vetores. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos para a segunda identidade:
Aqui, estamos fazendo o produto vetorial de
com
. Para resolver isso, usamos a propriedade distributiva do produto vetorial sobre a soma de vetores e a relação entre produto vetorial e produto escalar.
Aplicando a fórmula do produto vetorial, temos:
Isso mostra como o produto vetorial de um produto vetorial com um terceiro vetor pode ser expresso em termos de produtos escalares e combinações lineares dos vetores originais.
Passo 4
Por fim, vamos para a terceira identidade:
Aqui, temos o produto vetorial de
com o produto vetorial de
e
. Usando a propriedade semelhante à distributiva para o produto vetorial, podemos expandir esse termo.
Aplicando a fórmula, obtemos:
Isso mostra como reorganizar os termos utilizando produtos escalares para expressar o resultado em termos dos vetores originais.
Resposta
Mostramos que todas as três identidades são verdadeiras utilizando as propriedades dos produtos vetorial e escalar. Assim, as igualdades fornecidas no exercício estão comprovadas.
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Mostre que os polinômios
.
Determine as interseções dos planos com os eixos coordenados e represente graficamente:
Determine as interseções dos planos com os eixos coordenados e represente graficamente:
Dada a base ortonormal
, sejam
e
.
(1) Obtenha a projeção ortogonal de sobre
.
(2) Determine e
tais que
, sendo
paralelo a
e
ortogonal a
.
(1) Obtenha a projeção ortogonal de
(2) Determine