Dada a ciclóide descrita pelas equações vistas em sala de aula, obtenha no ponto em que atinge o seu valor máximo para no intervalo fechado .
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as derivadas primeira, segunda e terceira de em relação a para a ciclóide no ponto onde atinge seu valor máximo no intervalo .
Conteúdo da matéria: Derivadas de funções paramétricas.
O que vamos precisar:
Equações paramétricas da ciclóide
Regras de derivação para funções paramétricas
Identificação do ponto de máximo da função
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar as equações paramétricas da ciclóide. Geralmente, são dadas por:
onde é o parâmetro.
Passo 3
Vamos identificar o ponto onde atinge seu valor máximo no intervalo .
Como , o valor máximo de ocorre quando é mínimo. Sabemos que o mínimo de é , então:
Isso acontece quando .
Passo 4
Agora, calculamos as derivadas , e no ponto .
Primeiro, encontramos as derivadas de e em relação a :
Passo 5
Agora, a derivada é dada por:
No ponto :
Passo 6
Para encontrar , usamos a fórmula:
Primeiro, derivamos em relação a :
Usando a identidade :
Simplificando:
Agora, multiplicamos por :
No ponto :
Passo 7
Finalmente, para , usamos a fórmula:
Primeiro, derivamos em relação a :
Agora, multiplicamos por :
No ponto :
Resposta
No ponto onde atinge seu valor máximo no intervalo , temos: