Dada a ciclóide descrita pelas equações vistas em sala de aula, obtenha d/y dx, d^2 y/dx^2 e d^3 y/dx^3 no ponto em que y atinge o seu valor máximo para x no intervalo fechado [0, 2 pi].

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as derivadas primeira, segunda e terceira de em relação a para a ciclóide no ponto onde atinge seu valor máximo no intervalo .
Conteúdo da matéria: Derivadas de funções paramétricas.
O que vamos precisar:
  • Equações paramétricas da ciclóide
  • Regras de derivação para funções paramétricas
  • Identificação do ponto de máximo da função

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar as equações paramétricas da ciclóide. Geralmente, são dadas por:
onde é o parâmetro.

Passo 3

Vamos identificar o ponto onde atinge seu valor máximo no intervalo .
Como , o valor máximo de ocorre quando é mínimo. Sabemos que o mínimo de é , então:
Isso acontece quando .

Passo 4

Agora, calculamos as derivadas , e no ponto .
Primeiro, encontramos as derivadas de e em relação a :

Passo 5

Agora, a derivada é dada por:
No ponto :

Passo 6

Para encontrar , usamos a fórmula:
Primeiro, derivamos em relação a :
Usando a identidade :
Simplificando:
Agora, multiplicamos por :
No ponto :

Passo 7

Finalmente, para , usamos a fórmula:
Primeiro, derivamos em relação a :
Agora, multiplicamos por :
No ponto :

Resposta

No ponto onde atinge seu valor máximo no intervalo , temos:

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