Sejam e um subespaço vetorial de gerado pelos vetores do conjunto . Determine :
b) e uma base para W.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O exercício pede para determinar a dimensão de , que é um subespaço de , e também para encontrar uma base para . A gente vai precisar trabalhar com conceitos de combinação linear, dependência linear, e usar métodos de álgebra linear para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a dimensão de . A dimensão de um subespaço é o número de vetores que formam uma base desse subespaço. Então, para encontrar a dimensão, precisamos descobrir quantos vetores em são linearmente independentes.
Passo 3
Vamos pegar os vetores do conjunto e colocar cada um como coluna de uma matriz. Isso facilita para a gente ver se eles são independentes ou não. A matriz fica assim:
Passo 4
Agora, vamos fazer uma redução por linhas para simplificar essa matriz e ver quantas linhas não nulas (ou seja, quantas pivôs) temos. Isso vai nos dizer a dimensão de .
Subtraindo a primeira linha da segunda, e a terceira linha da quarta:
Passo 5
Agora, a matriz está mais simples. Podemos ver que há duas linhas não nulas. Isso significa que temos dois vetores que são linearmente independentes. Portanto, a dimensão de é 2.
Passo 6
Para encontrar uma base para , pegamos os vetores correspondentes às linhas não nulas após a redução. Olhando para a matriz original, esses vetores são e .