A reta r de equação y=x2 intercepta a circunferência de centro na origem e raio raiz5 em dois pontos P e Q, sendo que as coordenadas de P são ambas positivas. Determine
a equação da reta s, perpendicular a r, passando por P.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma reta com equação que intercepta uma circunferência de centro na origem (ponto ) e raio . Os pontos de interseção são e , onde as coordenadas de são ambas positivas. Nosso objetivo é encontrar a equação da reta que é perpendicular a e passa pelo ponto .
Para resolver isso, precisaremos usar conceitos de geometria analítica, como a determinação de pontos de interseção entre uma reta e uma circunferência, além de calcular a perpendicularidade entre duas retas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas dos pontos x^2 + y^2 = (raiz5)^2 Rightarrow x^2 + y^2 = 5 e x^2 + (x2)^2 = 5 onde a reta intercepta a circunferência. A equação geral da circunferência com centro na origem e raio é:
Sabemos que pontos na reta satisfazem . Vamos substituir na equação da circunferência:

Passo 3

Simplificando a equação:
x^2 + x^24 = 5
Somando os termos semelhantes:
4x^24 + x^24 = 5 Rightarrow 5x^24 = 5
Multiplicando ambos os lados por 4:
5x^2 = 20 Rightarrow x^2 = 4 Rightarrow x = pm 2

Passo 4

Agora, encontramos os valores de y = 22 = 1 . Para cada valor de y = -22 = -1 , encontramos usando a equação da reta :
Para :
Para :
Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a equação da reta mr cdot ms = -1 Rightarrow 12 cdot ms = -1 Rightarrow ms = -2 que é perpendicular a e passa por .
Primeiro, encontramos o coeficiente angular da reta , que é .
Duas retas são perpendiculares se o produto de seus coeficientes angulares for . Ou seja, se é o coeficiente angular da reta :

Passo 6

Com o coeficiente angular y - y1 = ms (x - x1) e sabendo que a reta y - 1 = -2 (x - 2) passa pelo ponto , usamos a forma ponto-inclinação da equação da reta:
Substituindo e :

Passo 7

Simplificando a equação:
y - 1 = -2x + 4
Adicionando 1 aos dois lados:
y = -2x + 5

Resposta

A equação da reta y = -2x + 5 perpendicular a e que passa por é:

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