A reta
de equação
intercepta a circunferência de centro na origem e raio
em dois pontos
e
, sendo que as coordenadas de
são ambas positivas. Determine
a equação da reta s, perpendicular a
, passando por
.
a equação da reta s, perpendicular a
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma reta
com equação
que intercepta uma circunferência de centro na origem (ponto
) e raio
. Os pontos de interseção são
e
, onde as coordenadas de
são ambas positivas. Nosso objetivo é encontrar a equação da reta
que é perpendicular a
e passa pelo ponto
.
Para resolver isso, precisaremos usar conceitos de geometria analítica, como a determinação de pontos de interseção entre uma reta e uma circunferência, além de calcular a perpendicularidade entre duas retas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas dos pontos
e
onde a reta
intercepta a circunferência. A equação geral da circunferência com centro na origem e raio
é:
Sabemos que pontos na reta
satisfazem
. Vamos substituir
na equação da circunferência:
Passo 3
Simplificando a equação:
Somando os termos semelhantes:
Multiplicando ambos os lados por 4:
Passo 4
Agora, encontramos os valores de
. Para cada valor de
, encontramos
usando a equação da reta
:
Para
:
Para
:
Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a equação da reta
que é perpendicular a
e passa por
.
Primeiro, encontramos o coeficiente angular da reta
, que é
.
Duas retas são perpendiculares se o produto de seus coeficientes angulares for
. Ou seja, se
é o coeficiente angular da reta
:
Passo 6
Com o coeficiente angular
e sabendo que a reta
passa pelo ponto
, usamos a forma ponto-inclinação da equação da reta:
Substituindo
e
:
Passo 7
Simplificando a equação:
Adicionando 1 aos dois lados:
Resposta
A equação da reta
perpendicular a
e que passa por
é:
Exercícios relacionados
Se as retas de equações
e
se interceptam no centro de uma circunferência de raio unitário, a equação dessa circunferência é:
Dada a circunferência de equação
, seja
seu ponto de ordenada máxima. A soma das coordenadas de
é:
Dada a circunferência de equação
e o ponto
, obtenha as equações das retas tangentes à circunferência, passando por
e posteriormente encontre a intersecção dessas retas com o eixo x.
No plano cartesiano, considere a reta de equação
e a circunferência de equação
. Podemos afirmar que
a) a reta passa pelo centro da circunferência.
b) a reta é tangente à circunferência.
c) a circunferência intercepta o eixo y em dois pontos cuja distância é 2 .
d) a circunferência intercepta o eixo em dois pontos cuja distância é 1.
e) a área do círculo determinado pela circunferência é 4 u.a…
a) a reta passa pelo centro da circunferência.
b) a reta é tangente à circunferência.
c) a circunferência intercepta o eixo y em dois pontos cuja distância é 2 .
d) a circunferência intercepta o eixo
e) a área do círculo determinado pela circunferência é 4 u.a…