A reta
de equação
intercepta a circunferência de centro na origem e raio
em dois pontos
e
, sendo que as coordenadas de
são ambas positivas. Determine
a equação da reta s, perpendicular a
, passando por
.
a equação da reta s, perpendicular a
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma reta
com equação
que intercepta uma circunferência de centro na origem (ponto
) e raio
. Os pontos de interseção são
e
, onde as coordenadas de
são ambas positivas. Nosso objetivo é encontrar a equação da reta
que é perpendicular a
e passa pelo ponto
.
Para resolver isso, precisaremos usar conceitos de geometria analítica, como a determinação de pontos de interseção entre uma reta e uma circunferência, além de calcular a perpendicularidade entre duas retas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas dos pontos
e
onde a reta
intercepta a circunferência. A equação geral da circunferência com centro na origem e raio
é:
Sabemos que pontos na reta
satisfazem
. Vamos substituir
na equação da circunferência:
Passo 3
Simplificando a equação:
Somando os termos semelhantes:
Multiplicando ambos os lados por 4:
Passo 4
Agora, encontramos os valores de
. Para cada valor de
, encontramos
usando a equação da reta
:
Para
:
Para
:
Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a equação da reta
que é perpendicular a
e passa por
.
Primeiro, encontramos o coeficiente angular da reta
, que é
.
Duas retas são perpendiculares se o produto de seus coeficientes angulares for
. Ou seja, se
é o coeficiente angular da reta
:
Passo 6
Com o coeficiente angular
e sabendo que a reta
passa pelo ponto
, usamos a forma ponto-inclinação da equação da reta:
Substituindo
e
:
Passo 7
Simplificando a equação:
Adicionando 1 aos dois lados:
Resposta
A equação da reta
perpendicular a
e que passa por
é: