A reta de equação intercepta a circunferência de centro na origem e raio em dois pontos e , sendo que as coordenadas de são ambas positivas. Determine
a equação da reta s, perpendicular a , passando por .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma reta com equação que intercepta uma circunferência de centro na origem (ponto ) e raio . Os pontos de interseção são e , onde as coordenadas de são ambas positivas. Nosso objetivo é encontrar a equação da reta que é perpendicular a e passa pelo ponto .
Para resolver isso, precisaremos usar conceitos de geometria analítica, como a determinação de pontos de interseção entre uma reta e uma circunferência, além de calcular a perpendicularidade entre duas retas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas dos pontos e onde a reta intercepta a circunferência. A equação geral da circunferência com centro na origem e raio é:
Sabemos que pontos na reta satisfazem . Vamos substituir na equação da circunferência:

Passo 3

Simplificando a equação:
Somando os termos semelhantes:
Multiplicando ambos os lados por 4:

Passo 4

Agora, encontramos os valores de . Para cada valor de , encontramos usando a equação da reta :
Para :
Para :
Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a equação da reta que é perpendicular a e passa por .
Primeiro, encontramos o coeficiente angular da reta , que é .
Duas retas são perpendiculares se o produto de seus coeficientes angulares for . Ou seja, se é o coeficiente angular da reta :

Passo 6

Com o coeficiente angular e sabendo que a reta passa pelo ponto , usamos a forma ponto-inclinação da equação da reta:
Substituindo e :

Passo 7

Simplificando a equação:
Adicionando 1 aos dois lados:

Resposta

A equação da reta perpendicular a e que passa por é:

Exercícios relacionados

Se as retas de equações e se interceptam no centro de uma circunferência de raio unitário, a equação dessa circunferência é:
Dada a circunferência de equação , seja seu ponto de ordenada máxima. A soma das coordenadas de é:
Dada a circunferência de equação e o ponto , obtenha as equações das retas tangentes à circunferência, passando por e posteriormente encontre a intersecção dessas retas com o eixo x.
No plano cartesiano, considere a reta de equação e a circunferência de equação . Podemos afirmar que
a) a reta passa pelo centro da circunferência.
b) a reta é tangente à circunferência.
c) a circunferência intercepta o eixo y em dois pontos cuja distância é 2 .
d) a circunferência intercepta o eixo em dois pontos cuja distância é 1.
e) a área do círculo determinado pela circunferência é 4 u.a…