Se as retas de equações x+2 y=-6 e 6 x+y=8 se interceptam no centro de uma circunferência de raio unitário, a equação dessa circunferência é:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A gente precisa encontrar a equação de uma circunferência que tem um centro no ponto onde duas retas se cruzam e que tem raio igual a 1. Para isso, vamos precisar encontrar as coordenadas desse ponto de interseção e, depois, usar a fórmula da circunferência.

Passo 2

Primeiro, vamos achar onde as duas retas se cruzam, ou seja, o ponto de interseção delas. As equações das retas são:
x + 2y = -6 (1)
6x + y = 8 (2)
Vamos resolver esse sistema de equações. Uma maneira fácil é usar o método da substituição. Da equação (1), podemos isolar x = -6 - 2y :
6(-6 - 2y) + y = 8
Agora, vamos substituir esse valor de -36 - 12y + y = 8 na equação (2):
-36 - 11y = 8
-11y = 44
y = -4
x = -6 - 2(-4) = -6 + 8 = 2
Agora que encontramos , substituímos de volta na expressão para :
Então, o ponto de interseção das retas, que será o centro da nossa circunferência, é .

Passo 3

Com o centro da circunferência conhecido, vamos usar a fórmula geral da equação da circunferência:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
Onde (x - 2)^2 + (y - (-4))^2 = 1^2 são as coordenadas do centro e (x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 1 é o raio. No nosso caso, , e . Substituindo esses valores na fórmula:

Resposta

A equação da circunferência é:
(x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 1

Exercícios relacionados