Determine se o limites existem ou não, e calcule os valores no caso existirem lim (x, y) (0,0) sin (y^4-x^4)y^2-x^2.

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao estudo de limites em funções de duas variáveis, um tópico importante em cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar entender propriedades das funções trigonométricas, especialmente o comportamento da função seno próximo de zero, e aplicar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche).

Passo 2

Primeiro, observe que y^4 - x^4 = (y^2)^2 - (x^2)^2 = (y^2 - x^2)(y^2 + x^2) pode ser fatorado. Podemos reescrever:
sin(y^4 - x^4)y^2 - x^2 = sin((y^2 - x^2)(y^2 + x^2))y^2 - x^2
Então, a expressão original fica:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão. Seja sin(z)y^2 - x^2 = sin(z)z cdot (y^2 + x^2) . Assim, temos:
1 cdot (y^2 + x^2)
Sabemos que . Como , . Portanto, a expressão se aproxima de:

Passo 4

Agora, analisamos o comportamento de lim(x, y) (0,0) (y^2 + x^2) = 0 quando . Claramente, . Assim, o limite da expressão inteira é:

Resposta

O limite existe e é igual a .

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