Determine se o limites existem ou não, e calcule os valores no caso existirem
.
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse exercício está relacionado ao estudo de limites em funções de duas variáveis, um tópico importante em cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar entender propriedades das funções trigonométricas, especialmente o comportamento da função seno próximo de zero, e aplicar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche).
Passo 2
Primeiro, observe que
pode ser fatorado. Podemos reescrever:
Então, a expressão original fica:
Passo 3
Vamos simplificar a expressão. Seja
. Assim, temos:
Sabemos que
. Como
,
. Portanto, a expressão se aproxima de:
Passo 4
Agora, analisamos o comportamento de
quando
. Claramente,
. Assim, o limite da expressão inteira é:
Resposta
O limite existe e é igual a
.