Determine se o limites existem ou não, e calcule os valores no caso existirem .

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao estudo de limites em funções de duas variáveis, um tópico importante em cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar entender propriedades das funções trigonométricas, especialmente o comportamento da função seno próximo de zero, e aplicar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche).

Passo 2

Primeiro, observe que pode ser fatorado. Podemos reescrever:
Então, a expressão original fica:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão. Seja . Assim, temos:
Sabemos que . Como , . Portanto, a expressão se aproxima de:

Passo 4

Agora, analisamos o comportamento de quando . Claramente, . Assim, o limite da expressão inteira é:

Resposta

O limite existe e é igual a .

Exercícios relacionados

Determine se o limites existem ou não, e calcule os valores no caso existirem .
Dada a curva com equações paramétricas e , expresse o comprimento de arco como uma função de , onde é medido a partir do ponto onde .
Considere a função
Calcule o limite ou mostre que esse limite não existe.
Determine, por meio de uma integral tripla, o volume do sólido que fica abaixo da superfície e acima da região do plano limitada pelas curvas . Para isso:
(0,5 ponto) Represente a base do sólido no plano cartesiano.