Encontre a equação da reta tangente à curva dada no ponto dado: .
Passo 1
Vamos lá! Temos um exercício de cálculo que pede para encontrar a equação da reta tangente a uma curva no ponto dado. A curva é definida pela função vetorial e queremos a reta tangente no ponto . Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função vetorial para obter o vetor tangente e depois usar essa informação para montar a equação da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto na curva correspondente a . Substituindo na função :
Então, o ponto de tangência é .
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada da função vetorial para encontrar o vetor tangente à curva em qualquer ponto . Derivando cada componente:
As derivadas serão:
Calculando cada uma:
Passo 4
Agora, vamos avaliar a derivada em para encontrar o vetor tangente no ponto :
Portanto, o vetor tangente é .
Passo 5
Com o ponto e o vetor tangente , podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente. A equação de uma reta no espaço 3D é dada por:
Onde é o ponto pela qual a reta passa e são as componentes do vetor diretor.
Passo 6
Substituindo os valores que temos na equação paramétrica:
Assim, essa é a equação paramétrica da reta tangente à curva no ponto dado.