Dada a curva , encontre a reta tangente a no ponto , sendo: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida por e precisa encontrar a reta tangente a essa curva no ponto . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de curvas paramétricas e precisamos entender como encontrar a reta que toca a curva exatamente nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir qual valor de faz com que . Então, igualamos cada componente:
Resolvendo a primeira equação, sabemos que quando . Vamos verificar se esse valor satisfaz as outras equações:
que é igual a 0.
que também bate.
Então, é o valor que corresponde ao ponto na curva.
Passo 3
Agora, para encontrar a reta tangente, precisamos da derivada da curva , que nos dá a direção da reta tangente naquele ponto. Vamos derivar cada componente de em relação a :
Passo 4
Avaliando a derivada em , temos:
Esse vetor é a direção da reta tangente no ponto .
Passo 5
Com o ponto e o vetor direção , podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente: