Dada a curva gamma, encontre a reta tangente a gamma no ponto P, sendo: gamma(t) = (e^t, t*e^t, t^2 + 4) ; P = (1, 0, 4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida por e precisa encontrar a reta tangente a essa curva no ponto . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de curvas paramétricas e precisamos entender como encontrar a reta que toca a curva exatamente nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir qual valor de t faz com que . Então, igualamos cada componente:
Resolvendo a primeira equação, sabemos que quando . Vamos verificar se esse valor satisfaz as outras equações:
  • que é igual a 0.
  • que também bate.
Então, é o valor que corresponde ao ponto P na curva.

Passo 3

Agora, para encontrar a reta tangente, precisamos da derivada da curva gamma(t), que nos dá a direção da reta tangente naquele ponto. Vamos derivar cada componente de gamma(t) em relação a t:

Passo 4

Avaliando a derivada em , temos:
Esse vetor é a direção da reta tangente no ponto P.

Passo 5

Com o ponto e o vetor direção , podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente:
onde s é o parâmetro da reta.

Resposta

A reta tangente a gamma no ponto P é dada por:
onde s é um número real.

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