Dada a curva , encontre a reta tangente a no ponto , sendo: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida por e precisa encontrar a reta tangente a essa curva no ponto . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de curvas paramétricas e precisamos entender como encontrar a reta que toca a curva exatamente nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir qual valor de faz com que . Então, igualamos cada componente:
Resolvendo a primeira equação, sabemos que quando . Vamos verificar se esse valor satisfaz as outras equações:
  • que é igual a 0.
  • que também bate.
Então, é o valor que corresponde ao ponto na curva.

Passo 3

Agora, para encontrar a reta tangente, precisamos da derivada da curva , que nos dá a direção da reta tangente naquele ponto. Vamos derivar cada componente de em relação a :

Passo 4

Avaliando a derivada em , temos:
Esse vetor é a direção da reta tangente no ponto .

Passo 5

Com o ponto e o vetor direção , podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente:
onde é o parâmetro da reta.

Resposta

A reta tangente a no ponto é dada por:
onde é um número real.

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Dê uma parametrização para as seguintes curvas: a circunferência .
Esboçe o traço das curvas abaixo: .
Esboçe o traço das curvas abaixo: .
Esboçe o traço das curvas abaixo: .