Esboçe o traço das curvas abaixo: γ(t) = (sen(t), cos(2t)), t ∈ [0, 2pi].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçar o traço da curva definida por , onde varia de t a 0. Isso envolve trabalhar com funções paramétricas, que descrevem uma curva no plano através de duas funções: uma para a coordenada e outra para a coordenada x. Para resolver isso, vamos precisar entender como relacionar essas duas funções para desenhar a curva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as funções que definem a curva:
  • Coordenada x:
  • Coordenada : y
Aqui, é o parâmetro que varia de t a 0. Nosso objetivo é relacionar e x sem depender de y, para conseguir esboçar a curva no plano t.

Passo 3

Para eliminar o parâmetro t, podemos usar a identidade trigonométrica que relaciona com . Sabemos que:
Isso nos ajuda a expressar em termos de porque .

Passo 4

Substituindo na identidade acima, temos:
Agora, temos uma relação direta entre e x, sem depender de y: t.

Passo 5

Essa equação representa uma parábola de concavidade para baixo, já que o coeficiente de é negativo. Para esboçar a curva, podemos identificar alguns pontos:
  • Quando : x = 0,
  • Quando : x = 1,
  • Quando : x = 0,
  • Quando : ,
  • Quando : x = 0,
Esses pontos nos mostram que a curva é simétrica em relação ao eixo y e forma uma parábola invertida.

Resposta

A curva definida por , para , é uma parábola com equação . O esboço dessa curva é uma parábola voltada para baixo, simétrica em relação ao eixo , passando pelos pontos y, 0,1, (1, -1), 0,1 e retornando a (-1, -1).

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