Esboçe o traço das curvas abaixo: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçar o traço da curva definida por , onde varia de a . Isso envolve trabalhar com funções paramétricas, que descrevem uma curva no plano através de duas funções: uma para a coordenada e outra para a coordenada . Para resolver isso, vamos precisar entender como relacionar essas duas funções para desenhar a curva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as funções que definem a curva:
  • Coordenada :
  • Coordenada :
Aqui, é o parâmetro que varia de a . Nosso objetivo é relacionar e sem depender de , para conseguir esboçar a curva no plano .

Passo 3

Para eliminar o parâmetro , podemos usar a identidade trigonométrica que relaciona com . Sabemos que:
Isso nos ajuda a expressar em termos de porque .

Passo 4

Substituindo na identidade acima, temos:
Agora, temos uma relação direta entre e , sem depender de : .

Passo 5

Essa equação representa uma parábola de concavidade para baixo, já que o coeficiente de é negativo. Para esboçar a curva, podemos identificar alguns pontos:
  • Quando : ,
  • Quando : ,
  • Quando : ,
  • Quando : ,
  • Quando : ,
Esses pontos nos mostram que a curva é simétrica em relação ao eixo e forma uma parábola invertida.

Resposta

A curva definida por , para , é uma parábola com equação . O esboço dessa curva é uma parábola voltada para baixo, simétrica em relação ao eixo , passando pelos pontos , , , e retornando a .

Exercícios relacionados

Esboçe o traço das curvas abaixo: .
Dada a curva , encontre a reta tangente a no ponto , sendo: .
Dê uma parametrização para as seguintes curvas: o segmento de reta que liga os pontos e
Encontre os pontos da curva , tais que suas retas tangentes são perpendiculares à reta .