Esboçe o traço das curvas abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçar o traço da curva definida por , onde
varia de
a
. Isso envolve trabalhar com funções paramétricas, que descrevem uma curva no plano através de duas funções: uma para a coordenada
e outra para a coordenada
. Para resolver isso, vamos precisar entender como relacionar essas duas funções para desenhar a curva.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as funções que definem a curva:
- Coordenada
: - Coordenada
:
Aqui,
é o parâmetro que varia de
a
. Nosso objetivo é relacionar
e
sem depender de
, para conseguir esboçar a curva no plano
.
Passo 3
Para eliminar o parâmetro
, podemos usar a identidade trigonométrica que relaciona
com . Sabemos que:
Isso nos ajuda a expressar
em termos de
porque .
Passo 4
Substituindo na identidade acima, temos:
Agora, temos uma relação direta entre
e
, sem depender de
:
.
Passo 5
Essa equação
representa uma parábola de concavidade para baixo, já que o coeficiente de
é negativo. Para esboçar a curva, podemos identificar alguns pontos:
- Quando
: , - Quando
: , - Quando
: , - Quando
: , - Quando
: ,
Esses pontos nos mostram que a curva é simétrica em relação ao eixo
e forma uma parábola invertida.
Resposta
A curva definida por , para
, é uma parábola com equação
. O esboço dessa curva é uma parábola voltada para baixo, simétrica em relação ao eixo
, passando pelos pontos
,
,
,
e retornando a
.
Exercícios relacionados
Esboçe o traço das curvas abaixo:
.
Dada a curva
, encontre a reta tangente a
no ponto
, sendo:
.
Dê uma parametrização para as seguintes curvas: o segmento de reta que liga os pontos
e
Encontre os pontos da curva
, tais que suas retas tangentes são perpendiculares à reta
.