Esboçe o traço das curvas abaixo: γ(t) = (sen^2(t), sen(t)), t ∈ (-pi/2, pi/2).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva paramétrica definida por , onde t varia entre e pi / 2. O conteúdo envolvido aqui é o estudo de curvas paramétricas, especificamente como esboçar o traço de uma curva dada suas equações paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da função paramétrica: e . Nosso objetivo é relacionar x e y diretamente, eliminando o parâmetro t.

Passo 3

Observamos que . Portanto, podemos expressar t em termos de y: . Mas, para simplificar a relação entre x e y, podemos elevar ambos os lados da equação ao quadrado:

Passo 4

Sabemos que . Substituindo a expressão de y^2 na equação de x, temos:

Passo 5

A equação representa uma parábola que abre para a direita no plano xy. Agora, vamos considerar o intervalo de t dado: . Nesse intervalo, varia de -1 a 1, então y varia de -1 a 1, e consequentemente varia de 0 a 1.

Resposta

O traço da curva para é uma parábola definida por , variando de x = 0 a x = 1, com y variando de -1 a 1.

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