Use o método de Picard para obter as soluções das seguintes equações diferenciais. Encontre pelo menos a quarta aproximação para cada solução.
y' = -3y, y(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial com a condição inicial usando o método de Picard. Esse método nos ajuda a encontrar soluções aproximadas para equações diferenciais através de sucessivas aproximações. Vamos precisar integrar a equação e usar as aproximações anteriores para encontrar as próximas.

Passo 2

Primeira Aproximação ( )
Começamos com a condição inicial:
Aqui, é a nossa primeira aproximação, que é simplesmente o valor inicial da função.

Passo 3

Segunda Aproximação ( )
Usamos a equação integral baseada na equação diferencial:
Substituindo e na integral:

Passo 4

Terceira Aproximação ( )
Agora, substituímos na integral:

Passo 5

Quarta Aproximação ( )
Substituímos na integral:

Resposta

A quarta aproximação da solução, usando o método de Picard, é:

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