Use o método de Picard para obter as soluções das seguintes equações diferenciais. Encontre pelo menos a quarta aproximação para cada solução.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
com a condição inicial
usando o método de Picard. Esse método nos ajuda a encontrar soluções aproximadas para equações diferenciais através de sucessivas aproximações. Vamos precisar integrar a equação e usar as aproximações anteriores para encontrar as próximas.
Passo 2
Primeira Aproximação (
)
Começamos com a condição inicial:
Aqui,
é a nossa primeira aproximação, que é simplesmente o valor inicial da função.
Passo 3
Segunda Aproximação (
)
Usamos a equação integral baseada na equação diferencial:
Substituindo
e
na integral:
Passo 4
Terceira Aproximação (
)
Agora, substituímos
na integral:
Passo 5
Quarta Aproximação (
)
Substituímos
na integral:
Resposta
A quarta aproximação da solução, usando o método de Picard, é: