Seja P3(x) = x^3 - 4x^2 + 2x - 1.
Determine o número de zeros de P3(x) que existem no intervalo I = [3, 4] utilizando a sequência de Sturm.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos o polinômio e queremos descobrir quantas raízes (ou zeros) ele tem no intervalo . Para isso, vamos usar uma técnica chamada Sequência de Sturm, que é uma ferramenta poderosa na matemática para contar quantas raízes reais um polinômio possui em um intervalo específico.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é a Sequência de Sturm. Basicamente, é uma lista de polinômios que nos ajuda a determinar o número de vezes que a função cruza o eixo x em um intervalo dado. Isso é feito calculando as mudanças de sinais nos valores da sequência avaliados nos extremos do intervalo.

Passo 3

Vamos começar construindo a Sequência de Sturm para o nosso polinômio . A sequência começa com e sua derivada .
Calculando a derivada:

Passo 4

Agora, usamos a regra de Euclides para encontrar o próximo polinômio na sequência. Isso envolve dividir por e considerar o resto:
Fazendo a divisão, obtemos:
E o resto:

Passo 5

Continuando, aplicamos a regra de Euclides novamente, agora dividindo por :
Após a divisão, encontramos:
E o novo resto:

Passo 6

Agora, nossa Sequência de Sturm está completa:

Passo 7

O próximo passo é avaliar cada polinômio da sequência nos extremos do intervalo e contar as mudanças de sinal.
Para :
Para :

Passo 8

Agora, vamos analisar as sequências de sinais nos dois pontos.
Em :
Mudanças de sinal: 1 (de - para +)
Em :
Mudanças de sinal: 0

Passo 9

A diferença no número de mudanças de sinal entre e nos dá o número de raízes no intervalo .
ç
ç
úí

Resposta

O polinômio possui 1 zero no intervalo .

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