Seja
.
Determine o número de zeros de
que existem no intervalo
utilizando a sequência de Sturm.
Determine o número de zeros de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos o polinômio
e queremos descobrir quantas raízes (ou zeros) ele tem no intervalo
. Para isso, vamos usar uma técnica chamada Sequência de Sturm, que é uma ferramenta poderosa na matemática para contar quantas raízes reais um polinômio possui em um intervalo específico.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é a Sequência de Sturm. Basicamente, é uma lista de polinômios que nos ajuda a determinar o número de vezes que a função cruza o eixo x em um intervalo dado. Isso é feito calculando as mudanças de sinais nos valores da sequência avaliados nos extremos do intervalo.
Passo 3
Vamos começar construindo a Sequência de Sturm para o nosso polinômio
. A sequência começa com
e sua derivada
.
Calculando a derivada:
Passo 4
Agora, usamos a regra de Euclides para encontrar o próximo polinômio na sequência. Isso envolve dividir
por
e considerar o resto:
Fazendo a divisão, obtemos:
E o resto:
Passo 5
Continuando, aplicamos a regra de Euclides novamente, agora dividindo
por
:
Após a divisão, encontramos:
E o novo resto:
Passo 6
Agora, nossa Sequência de Sturm está completa:
Passo 7
O próximo passo é avaliar cada polinômio da sequência nos extremos do intervalo
e contar as mudanças de sinal.
Para
:
Para
:
Passo 8
Agora, vamos analisar as sequências de sinais nos dois pontos.
Em
:
Mudanças de sinal: 1 (de - para +)
Em
:
Mudanças de sinal: 0
Passo 9
A diferença no número de mudanças de sinal entre
e
nos dá o número de raízes no intervalo
.
Resposta
O polinômio
possui 1 zero no intervalo
.