Dada a curva paramétrica:
Determine os pontos em que a curva tem tangente horizontal e vertical.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida por equações paramétricas:
Nosso objetivo é encontrar os pontos onde a curva tem tangentes horizontais e verticais. Para isso, vamos precisar entender um pouco de derivadas e como elas determinam a inclinação da tangente em cada ponto da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
. Isso nos dará a taxa de variação de
e
conforme
muda.
Passo 3
Agora, para encontrar a inclinação da tangente à curva em qualquer ponto
, usamos a fórmula da derivada de
em relação a
:
Essa fração nos diz a inclinação da tangente no ponto correspondente a cada valor de
.
Passo 4
Vamos encontrar onde a tangente é horizontal. Uma tangente horizontal ocorre quando a inclinação
.
Para que isso seja zero, o numerador precisa ser zero:
Passo 5
Agora, vamos encontrar onde a tangente é vertical. Uma tangente vertical ocorre quando a derivada
e
não é zero (para evitar 0/0).
Vamos verificar
em
:
Então, em
, temos uma tangente vertical.
Passo 6
Agora que temos os valores de
onde as tangentes são horizontais e verticais, vamos encontrar os pontos correspondentes substituindo esses valores nas equações de
e
.
Para tangentes horizontais (
):
Então, o ponto é
.
Da mesma forma, para
:
Então, o ponto é
.
Para tangente vertical (
):
Então, o ponto é
.
Resposta
A curva tem tangentes horizontais nos pontos
e
, e uma tangente vertical no ponto
.
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