Dada a curva paramétrica:
Determine os pontos em que a curva tem tangente horizontal e vertical.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida por equações paramétricas:
Nosso objetivo é encontrar os pontos onde a curva tem tangentes horizontais e verticais. Para isso, vamos precisar entender um pouco de derivadas e como elas determinam a inclinação da tangente em cada ponto da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas de e em relação a . Isso nos dará a taxa de variação de e conforme muda.

Passo 3

Agora, para encontrar a inclinação da tangente à curva em qualquer ponto , usamos a fórmula da derivada de em relação a :
Essa fração nos diz a inclinação da tangente no ponto correspondente a cada valor de .

Passo 4

Vamos encontrar onde a tangente é horizontal. Uma tangente horizontal ocorre quando a inclinação .
Para que isso seja zero, o numerador precisa ser zero:

Passo 5

Agora, vamos encontrar onde a tangente é vertical. Uma tangente vertical ocorre quando a derivada e não é zero (para evitar 0/0).
Vamos verificar em :
Então, em , temos uma tangente vertical.

Passo 6

Agora que temos os valores de onde as tangentes são horizontais e verticais, vamos encontrar os pontos correspondentes substituindo esses valores nas equações de e .
Para tangentes horizontais ( ):
Então, o ponto é .
Da mesma forma, para :
Então, o ponto é .
Para tangente vertical ( ):
Então, o ponto é .

Resposta

A curva tem tangentes horizontais nos pontos e , e uma tangente vertical no ponto .

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