( ) Se f(x, y) tem derivada direcional em todas as direções a partir de (a, b) então f é diferenciável

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão. A gente precisa pensar sobre derivadas direcionais e diferenciabilidade de funções. O enunciado diz que se a função tem derivada direcional em todas as direções a partir do ponto , então ela é diferenciável nesse ponto. Vamos ver se isso é verdade ou não!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada direcional. A derivada direcional de em uma direção qualquer no ponto é dada por:
Isso significa que para cada direção , existe uma derivada direcional correspondente.

Passo 3

Agora, o que é diferenciabilidade? Uma função é diferenciável em se ela pode ser aproximada linearmente perto desse ponto. Formalmente, isso significa que:
Ou seja, além das derivadas parciais existirem, o erro na aproximação deve ser muito pequeno quando e tendem a zero.

Passo 4

Ter todas as derivadas direcionais existentes em não garante necessariamente que a função seja diferenciável nesse ponto. Para a função ser diferenciável, é preciso que as derivadas parciais existam e que a aproximação linear funcione bem. Mas pode haver casos onde todas as derivadas direcionais existem, mas a função não é diferenciável porque a aproximação linear não é adequada.

Passo 5

Vamos ver um exemplo famoso: a função para e . Essa função tem todas as derivadas direcionais no ponto , mas ela não é diferenciável nesse ponto porque a aproximação linear não captura bem o comportamento da função perto de .

Resposta

A afirmação é falsa. Ter derivadas direcionais em todas as direções a partir de não garante que seja diferenciável nesse ponto.

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Determine o domínio das seguintes funções:
Determine o tipo de superfície descrita pela equação:
Esboce o gráfico.
Dada a curva paramétrica:
Determine os pontos em que a curva tem tangente horizontal e vertical.
Determine se é uma função par, ímpar ou nenhuma das duas: