( ) Se f(x, y) tem derivada direcional em todas as direções a partir de (a, b) então f é diferenciável
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão. A gente precisa pensar sobre derivadas direcionais e diferenciabilidade de funções. O enunciado diz que se a função
tem derivada direcional em todas as direções a partir do ponto
, então ela é diferenciável nesse ponto. Vamos ver se isso é verdade ou não!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada direcional. A derivada direcional de
em uma direção qualquer
no ponto
é dada por:
Isso significa que para cada direção
, existe uma derivada direcional correspondente.
Passo 3
Agora, o que é diferenciabilidade? Uma função
é diferenciável em
se ela pode ser aproximada linearmente perto desse ponto. Formalmente, isso significa que:
Ou seja, além das derivadas parciais existirem, o erro na aproximação deve ser muito pequeno quando
e
tendem a zero.
Passo 4
Ter todas as derivadas direcionais existentes em
não garante necessariamente que a função seja diferenciável nesse ponto. Para a função ser diferenciável, é preciso que as derivadas parciais existam e que a aproximação linear funcione bem. Mas pode haver casos onde todas as derivadas direcionais existem, mas a função não é diferenciável porque a aproximação linear não é adequada.
Passo 5
Vamos ver um exemplo famoso: a função
para
e
. Essa função tem todas as derivadas direcionais no ponto
, mas ela não é diferenciável nesse ponto porque a aproximação linear não captura bem o comportamento da função perto de
.
Resposta
A afirmação é falsa. Ter derivadas direcionais em todas as direções a partir de
não garante que
seja diferenciável nesse ponto.
Exercícios relacionados
Determine o domínio das seguintes funções:
Determine o tipo de superfície descrita pela equação:
Esboce o gráfico.
Dada a curva paramétrica:
Determine os pontos em que a curva tem tangente horizontal e vertical.
Determine se
é uma função par, ímpar ou nenhuma das duas: