Dê exemplo de uma Interpretação geométrica para a diferenciabilidade de num ponto da superficie

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente dar um exemplo de interpretação geométrica para a diferenciabilidade de uma função num ponto da superfície. Isso está relacionado ao cálculo diferencial multivariável, onde estudamos como a função se comporta perto de um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável num ponto. Basicamente, uma função é diferenciável em um ponto se ela pode ser bem aproximada por um plano tangente nesse ponto. Isso quer dizer que, perto de , a superfície se parece muito com um plano reto.

Passo 3

Geometricamente, isso significa que se você olhar para a superfície bem perto do ponto , ela vai parecer plana, igual a um plano que toca a superfície nesse ponto. Esse plano é chamado de plano tangente. A existência desse plano tangente é o que caracteriza a diferenciabilidade da função naquele ponto.

Passo 4

Para visualizar melhor, imagine que você está olhando para uma montanha. Num ponto qualquer da montanha, se a superfície for diferenciável, você pode colocar uma régua plana que toca a montanha exatamente naquele ponto e que segue de forma bem próxima à inclinação da montanha ali. Essa régua representa o plano tangente.

Passo 5

Além disso, a diferenciabilidade implica que a função tem derivadas parciais contínuas naquele ponto, o que garante que não há “quebras” ou “pontas” na superfície, fazendo com que a aproximação pelo plano tangente seja válida.

Resposta

Então, geometricamente, a diferenciabilidade de num ponto da superfície significa que existe um plano tangente nesse ponto que aproxima perfeitamente a superfície perto dele. Isso faz com que a superfície pareça quase plana naquele ponto específico.

Exercícios relacionados

Determine se é uma função par, ímpar ou nenhuma das duas:
Dada a curva paramétrica:
Determine os pontos em que a curva tem tangente horizontal e vertical.
Encontre e e defina seus domínios.
(a) e
(b) e
Determine o diferencial total da função