Encontre a curvatura de no ponto

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma curva definida por e precisamos encontrar a curvatura dessa curva no ponto específico . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a fórmula da curvatura que envolve as derivadas da posição da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o valor de que nos dá o ponto . Olhando para , vemos que quando , temos:
Então, é o valor que vamos usar para calcular a curvatura nesse ponto.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as primeiras e segundas derivadas de . A primeira derivada nos dá o vetor velocidade, e a segunda derivada nos dá o vetor aceleração.
Calculando :
No ponto :
Calculando :
No ponto :

Passo 4

A fórmula da curvatura é dada por:
Onde representa o produto vetorial e é a norma do vetor.
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial :
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular a norma desse vetor:

Passo 6

Em seguida, vamos calcular a norma de :
Elevando ao cubo:

Passo 7

Finalmente, aplicamos a fórmula da curvatura:
Podemos racionalizar o denominador:
Simplificando:

Resposta

A curvatura no ponto é .

Exercícios relacionados

Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
(a) ; quando .
Determinar a equação do plano tangente à superfície no ponto .
Dada a curva . Qual a equação do plano normal à curva no ponto , correspondente a ?
Seja . Considere a curva e calcule:
b) .