Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
(a) z=x^2+x y^3, x=u v^2+w^3, y=u+v e^w; partial zpartial u, partial zpartial v, partial zpartial q quando u=2, v=1, w=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando a Regra da Cadeia. O problema fala sobre funções compostas onde depende de e , e tanto quanto dependem de outras variáveis , e . Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a , e quando , e . Para isso, vamos precisar aplicar a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções:
z = x^2 + x y^3
x = u v^2 + w^3
y = u + v e^w

Passo 3

Vamos lembrar como usar a Regra da Cadeia para derivadas parciais. Se partial zpartial u = partial zpartial x cdot partial xpartial u + partial zpartial y cdot partial ypartial u depende de e , e e dependem de , então a derivada parcial de em relação a é:

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas derivadas:
Primeiro, derivadas de partial zpartial x = 2x + y^3 :
partial zpartial y = 3x y^2
partial xpartial u = v^2
Agora, derivadas de partial ypartial u = 1 e :

Passo 5

Substituindo tudo na expressão da Regra da Cadeia para partial zpartial u = (2x + y^3) cdot v^2 + (3x y^2) cdot 1 :

Passo 6

Agora, vamos fazer o mesmo para partial zpartial v = partial zpartial x cdot partial xpartial v + partial zpartial y cdot partial ypartial v :
partial xpartial v = 2u v
Calculando as derivadas:
partial ypartial v = e^w
partial zpartial v = (2x + y^3) cdot 2u v + (3x y^2) cdot e^w
Então,

Passo 7

E para partial zpartial w = partial zpartial x cdot partial xpartial w + partial zpartial y cdot partial ypartial w :
partial xpartial w = 3w^2
Calculando as derivadas:
partial ypartial w = v e^w
partial zpartial w = (2x + y^3) cdot 3w^2 + (3x y^2) cdot v e^w
Então,

Passo 8

Agora, vamos substituir x = 2 cdot 1^2 + 0^3 = 2 , y = 2 + 1 cdot e^0 = 2 + 1 = 3 e para encontrar os valores numéricos. Primeiro, calculamos e :

Passo 9

Agora, substituímos esses valores nas derivadas:
Para partial zpartial u = (2 cdot 2 + 3^3) cdot 1^2 + (3 cdot 2 cdot 3^2) cdot 1 = (4 + 27) cdot 1 + (3 cdot 2 cdot 9) = 31 + 54 = 85 :
partial zpartial v = (2 cdot 2 + 3^3) cdot 2 cdot 2 cdot 1 + (3 cdot 2 cdot 3^2) cdot e^0 = (4 + 27) cdot 4 + 54 cdot 1 = 31 cdot 4 + 54 = 124 + 54 = 178
Para partial zpartial w = (2 cdot 2 + 3^3) cdot 3 cdot 0^2 + (3 cdot 2 cdot 3^2) cdot 1 cdot e^0 = (4 + 27) cdot 0 + 54 cdot 1 = 0 + 54 = 54 :
Para :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial u = 85, partial zpartial v = 178, partial zpartial w = 54

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