Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
(a)
;
quando
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando a Regra da Cadeia. O problema fala sobre funções compostas onde
depende de
e
, e tanto
quanto
dependem de outras variáveis
,
e
. Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de
em relação a
,
e
quando
,
e
. Para isso, vamos precisar aplicar a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções:
Passo 3
Vamos lembrar como usar a Regra da Cadeia para derivadas parciais. Se
depende de
e
, e
e
dependem de
, então a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas derivadas:
Primeiro, derivadas de
:
Agora, derivadas de
e
:
Passo 5
Substituindo tudo na expressão da Regra da Cadeia para
:
Passo 6
Agora, vamos fazer o mesmo para
:
Calculando as derivadas:
Então,
Passo 7
E para
:
Calculando as derivadas:
Então,
Passo 8
Agora, vamos substituir
,
e
para encontrar os valores numéricos. Primeiro, calculamos
e
:
Passo 9
Agora, substituímos esses valores nas derivadas:
Para
:
Para
:
Para
:
Resposta
As derivadas parciais são:
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Determinar a equação do plano tangente à superfície
no ponto
.
Determine o vetor tangente unitário da curva
no valor
.
Encontre a curvatura de
no ponto
Dada a curva
. Qual a equação do plano normal à curva no ponto
, correspondente a
?