Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
(a) ; quando .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando a Regra da Cadeia. O problema fala sobre funções compostas onde depende de e , e tanto quanto dependem de outras variáveis , e . Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a , e quando , e . Para isso, vamos precisar aplicar a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções:

Passo 3

Vamos lembrar como usar a Regra da Cadeia para derivadas parciais. Se depende de e , e e dependem de , então a derivada parcial de em relação a é:

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas derivadas:
Primeiro, derivadas de :
Agora, derivadas de e :

Passo 5

Substituindo tudo na expressão da Regra da Cadeia para :

Passo 6

Agora, vamos fazer o mesmo para :
Calculando as derivadas:
Então,

Passo 7

E para :
Calculando as derivadas:
Então,

Passo 8

Agora, vamos substituir , e para encontrar os valores numéricos. Primeiro, calculamos e :

Passo 9

Agora, substituímos esses valores nas derivadas:
Para :
Para :
Para :

Resposta

As derivadas parciais são:

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