Uma distribuição de carga produz o seguinte campo elétrico radial:
E=A e^-b rr r
Faça um esboço desta distribuição de carga.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma distribuição de carga que gera um campo elétrico radial dado por:
E=A e^-b rr r
O conteúdo principal aqui envolve campo elétrico e distribuição de carga. Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Gauss, que relaciona o campo elétrico à distribuição de carga responsável por ele.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Gauss, que diz:
oint E cdot dA = Qencvarepsilon0
Aqui, é a carga total dentro de uma superfície fechada e é a permissividade do vácuo.
Como o campo elétrico é radial e depende apenas da distância , é conveniente escolher uma superfície gaussiana esférica de raio .

Passo 3

Calculando o fluxo elétrico através da superfície gaussiana esférica:
oint E cdot dA = E(r) cdot 4pi r^2 = A e^-b rr cdot 4pi r^2 = 4pi A r e^-b r
De acordo com a Lei de Gauss:
4pi A r e^-b r = Qencvarepsilon0

Passo 4

A carga total Qenc = integral0^r rho(r') cdot 4pi r'^2 dr' dentro de uma esfera de raio 4pi A r e^-b r = 1varepsilon0 integral0^r rho(r') cdot 4pi r'^2 dr' pode ser relacionada à densidade de carga A r e^-b r = 1varepsilon0 integral0^r rho(r') r'^2 dr' por:
Igualando as duas expressões para :
Simplificando:

Passo 5

Para encontrar ddr ( A r e^-b r ) = ddr ( 1varepsilon0 integral0^r rho(r') r'^2 dr' ) , vamos derivar ambos os lados em relação a A e^-b r - A b r e^-b r = 1varepsilon0 rho(r) r^2 :
rho(r) = varepsilon0 A e^-b r (1 - b r)r^2
Calculando as derivadas:
Isolando :

Resposta

A distribuição de carga que gera o campo elétrico dado é:
rho(r) = varepsilon0 A e^-b r (1 - b r)r^2
Para esboçar essa distribuição:
  1. Comportamento próximo a : À medida que se aproxima de zero, a densidade de carga tende ao infinito devido ao termo . Isso indica uma concentração alta de carga no centro.
  2. Ponto de anulação: A densidade de carga se anula quando , ou seja, em .
  3. Comportamento para : Para , a densidade de carga se torna negativa, indicando a presença de carga negativa além desse ponto.
  4. Decay exponencial: Tanto para quanto para , a densidade de carga decresce exponencialmente devido ao termo .
Esboço:
  • No eixo vertical, coloque e no horizontal, a distância .
  • A curva começa alta no , decresce até cruzar o eixo em e continua diminuindo, aproximando-se de zero para muito grande.
  • A região para terá positiva, e para , será negativa.
Isso representa uma distribuição de carga com um núcleo positivo e uma “casca” negativa ao redor.

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