Uma distribuição de carga produz o seguinte campo elétrico radial:
Faça um esboço desta distribuição de carga.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma distribuição de carga que gera um campo elétrico radial dado por:
O conteúdo principal aqui envolve campo elétrico e distribuição de carga. Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Gauss, que relaciona o campo elétrico à distribuição de carga responsável por ele.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Gauss, que diz:
Aqui,
é a carga total dentro de uma superfície fechada e
é a permissividade do vácuo.
Como o campo elétrico é radial e depende apenas da distância
, é conveniente escolher uma superfície gaussiana esférica de raio
.
Passo 3
Calculando o fluxo elétrico através da superfície gaussiana esférica:
De acordo com a Lei de Gauss:
Passo 4
A carga total
dentro de uma esfera de raio
pode ser relacionada à densidade de carga
por:
Igualando as duas expressões para
:
Simplificando:
Passo 5
Para encontrar
, vamos derivar ambos os lados em relação a
:
Calculando as derivadas:
Isolando
:
Resposta
A distribuição de carga que gera o campo elétrico dado é:
Para esboçar essa distribuição:
-
Comportamento próximo a
: À medida que se aproxima de zero, a densidade de carga tende ao infinito devido ao termo . Isso indica uma concentração alta de carga no centro. -
Ponto de anulação: A densidade de carga se anula quando
, ou seja, em . -
Comportamento para
: Para , a densidade de carga se torna negativa, indicando a presença de carga negativa além desse ponto. -
Decay exponencial: Tanto para
quanto para , a densidade de carga decresce exponencialmente devido ao termo .
Esboço:
- No eixo vertical, coloque
e no horizontal, a distância . - A curva começa alta no
, decresce até cruzar o eixo em e continua diminuindo, aproximando-se de zero para muito grande. - A região para
terá positiva, e para , será negativa.
Isso representa uma distribuição de carga com um núcleo positivo e uma “casca” negativa ao redor.